Concours QCM

Solutions des exercices exemples en mathématiques

1. Réponse : e). Si l’on transférait le quart et les 20 € en deux étapes, alors avant de transférer les 20 €, on aurait 80 € dans une poche, dans l’autre 120. Dans la poche contenant  120 €, on a 3/4 de la somme d’origine, c’est à dire elle contenait 160 € au départ.

2. Réponse : c). Appliquer au rectangle la symétrie axiale ayant pour axe la droite de l’un des côtés les plus longs du rectangle. On obtient ainsi deux triangles équilatéraux dont les côtés sont : le côté le plus court avec son image, une diagonale et l’image de l’autre diagonale – chacun de ces segments mesure 4 unités. Les côtés sécants des deux triangles équilatéraux et ainsi les deux diagonales du rectangle déterminent un angle de 60^o.

3. Réponse : c). Soit n le nombre d’étages. Alors, la surface de la base de la ,,pyramide'' et la surface vue de dessus valent chacune n² cm². La surface de chaque côté vaut (1+2+...+n), c’est à dire cm². Ainsi, sa superficie totale : , ce qui donne après transformation 2n²+n-1176=0. Il n’y a qu’une racine positive : x=24. Ainsi, la  ,,pyramide'' est de 24 étages.

4. Réponse : c). Si la colonie de vacances a duré  n  jours, alors, il a plu  n-5  après-midis et n-6 matinées. Comme il a plu au total 7 matinée ou après-midi et il n’a jamais plus le même jour le matin et l’après-midi, on a  n-6+n-5=7, d’où n=9.

5. Réponse : c). En utilisant la condition de l’énoncé :

a⁶+b⁶=(a²+b²)³-3a²b²(a²+b²)=1-3a²b².

D’après l’inégalité entre les moyennes arithmétiques et géométriques . Ce qui signifie que a²b²1/4, donc 1-3a²b²1/4.

6. Réponse : d). Pour trouver le point d’intersection, écrire l’équation cos x=sin 2x=2sin xcos x dont la solution dans l’intervalle donné est /6. On obtient les coefficients directeurs des tangentes à partir des dérivés des fonctions : (cos x)'=-sin x, et (sin 2x)'=2cos 2x.
Les nombres dérivés au point d’intersection :  -1/2 et 1, d’où les angles déterminés par les tangentes avec la direction positive de l’axe des x  -26,56^o, et 45^o. Donc les tangentes déterminent un angle de 26,56^o+45^o=71,56^o.