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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques concours QCM

2. tour 2009.

prière de lire le règlement du concours

Date limite d'envoi : 30 décembre 2009

5-6

Niveau 1

1. Thomas a demandé à Stéphane d’écrire sur une feuille quelques nombres entiers strictement positifs (pas forcément différents). Il a dit ensuite à Stéphane: "Je sais avec certitude qu’il est possible de choisir trois nombres parmi ceux écrits sur la feuille tels que leur somme soit divisible par 3." Au moins combien de nombres Stéphane a-t-il dû écrire sur la feuille pour que Thomas ait sûrement raison?
      (A) 3
      (B) 4
      (C) 5
      (D) 6
      (E) plus de 6

2. Yann a obtenu 250 après avoir effectué une suite d’opérations. Julien lui a rappelé ensuite que dans la dernière opération il a multiplié par 5 au lieu de diviser par 5 et que dans l’avant-dernière opération au lieu de soustraire -5 il a additionné -5. Quel aurait été le résultat correct?
      (A) 12
      (B) 20
      (C) 45
      (D) 55
      (E) 120

3. Parmi les élèves d’une classe de 33 personnes, 22 nagent et 22 jouent au foot chaque jour. Chaque élève participe chaque jour à au moins un des deux entraînements. Parmi ceux qui ont joué au foot aujourd’hui, hier 15 ont nagé et 15 ont joué au foot et la situation est pareille chez ceux ayant nagé aujourd’hui. Donner le nombre d’élèves qui n’ont fait que de la natation les deux jours.
      (A) 0
      (B) 2
      (C) 4
      (D) 8
      (E) 14

4. Anne, Aurélie, Doriane, Sarah et Justine jouent à un jeu dans lequel les joueurs sont soit des grenouilles soit des kangourous. Les affirmations des grenouilles sont toujours fausses mais les kangourous disent toujours la vérité. Nous savons les choses suivantes:

(1) Anne dit que Aurélie est un kangourou.

(2) Doriane dit que Sarah est une grenouille.

(3) Justine dit que Anne n’est pas une grenouille.

(4) Aurélie dit que Doriane n’est pas un kangourou.

(5) Sarah dit que Anne et Justine sont des animaux différents dans ce jeu.

Combien parmi les cinq filles jouent-elles des grenouilles?
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 3
      (D) 4
      (E) 5

5. Dans la salle de classe de Mathieu, il y a 5 lampes différentes ayant chacune son interrupteur. La classe a inventé un jeu selon lequel les lampes doivent être allumées chaque jour différemment, c’est à dire qu’il n’y ait pas deux jours où exactement les mêmes lampes soient allumées. Leur professeur principal était d’accord à une condition: qu’ils ne travaillent jamais dans le noir c’est à dire qu’au moins une lampe soit allumée chaque jour. Au plus combien de jours peuvent-ils réaliser leur projet?
      (A) 9
      (B) 15
      (C) 30
      (D) 31
      (E) 32

Niveau 2

1. Parmi trois frères, l’aîné a 14 ans de plus que le benjamin, celui du milieu a 4 ans de moins que l’aîné. L’age de chacun d’eux est un nombre premier. Quelle est la somme de leurs ages?
      (A) 28
      (B) 30
      (C) 33
      (D) 39
      (E) 51

2. Au moins combien de nombres entiers doit-on choisir pour en avoir deux dont la somme ou la différence soit divisible par 11?
      (A) 6
      (B) 7
      (C) 11
      (D) 12
      (E) autre réponse

3. A un arrêt de tram, il n’y a que les trams marqués par les lettres A,B et C qui s’arrêtent. Les A toutes les 4 minutes, les B toutes les 6 minutes et les C toutes les 8 minutes. Toutes les combien de minutes un tram arrive-t-il en moyenne à cet arrêt?
      (A) 1 min 36 s
      (B) 1 min 47 s
      (C) 1 min 51 s
      (D) 2 min 2 s
      (E) 2 min 7 s

4. Dans un triangle, il est vrai pour deux hauteurs qu’elles sont au moins aussi longues que les bases correspondantes. Que peut-on dire du triangle?
      (A) il est à angles aigus
      (B) il est rectangle
      (C) il est à angle obtus
      (D) un tel triangle n’existe pas
      (E) autre réponse

5. Deux objets se déplacent sur une piste circulaire. Si les objets avancent dans le même sens, ils se rencontrent toutes les vingt secondes. S’ils se déplacent en sens contraire l’un par rapport à l’autre, ils se rencontrent toutes les quatre secondes. Donner la distance parcourue par seconde par le plus rapide, sachant que le périmètre du cercle est de 100 m.
      (A) 15 m
      (B) 17 m
      (C) 18 m
      (D) 19 m
      (E) 22 m

Niveau 3

1. Le PGCD de deux nombres naturels est 24, leur somme est 1008. Combien de couples de nombres ayant ces propriétés existe-t-il ?
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 4
      (D) 5
      (E) 6

2. Un groupe d’amis souhaite distribuer 380 euros à un certain nombre de pauvres. Au moment de la distribution, 6 pauvres de plus se sont présentés par rapport au nombre de pauvres initialement prévu. Chacun a reçu ainsi 4,80 euros de moins. Combien y avait-il de pauvres à l’origine?
      (A) 12
      (B) 14
      (C) 17
      (D) 19
      (E) 20

3. Combien y a-t-il de vraies fractions (c’est à dire inférieures à 1 et positives) irréductibles dont le dénominateur est égal à 900?
      (A) 138
      (B) 146
      (C) 180
      (D) 224
      (E) 240

4. Le train Paris - Strasbourg doit – suite à un problème technique pendant son trajet – diminuer sa vitesse à $\frac1n$ -ième de sa valeur initiale et aura à cause de cet incident a heures de retard. Si ce problème était arrivé de b kilomètres plus près de Strasbourg, son retard aurait été de c heures. Quelle était à l’origine la distance parcourue par heure par le train?
      (A) $\frac{nb}{c-a}$
      (B) $\frac{(n-1)(a-c)}{b}$
      (C) $\frac{(n-1)b}{a-c}$
      (D) $\frac{(n-3)(b+\frac{a}{n})}{a-c}$
      (E) $\frac{n(b-1)}{a-c}$

5. Déterminer le nombre q tel que f(x)=x³+px²+qx-abc soit divisible par (x-b) et par (x-c).
      (A) b+c
      (B) ab+bc+ca
      (C) a+b+c
      (D) abc
      (E) 2a+2b+2c

Niveau 4

1. Par combien de chiffres 9 se termine l’expression $A=1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\ldots+2009\cdot2009!$ ?
      (A) 1
      (B) 9
      (C) 99
      (D) 499
      (E) 501

2. Quelle est la valeur de la fraction de chaîne infinie $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+ \ldots}}}}$ ?
      (A) $\frac{\sqrt{6}-1}{3}$
      (B) 0,8
      (C) $\frac{\sqrt{5}}{3}$
      (D) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
      (E) $\frac58$

3. A partir du point P(c,b), tracer les tangentes à l’ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ . Donner l’aire du triangle ayant pour sommets le point P et les deux points où les tangentes touchent l’ellipse.
      (A) $\frac{bc^3}{b^2 + c^2}$
      (B) $\frac{ac^3}{a^2 + b^2}$
      (C) $\frac{ab^3}{b^2 + c^2}$
      (D) $\frac{bc^3}{a^2 + c^2}$
      (E) $\frac{ac^3}{b^2 + c^2}$

4. Combien de solutions 0 $\leq$ x,y $\leq$ 2 $\pi$ l’équation 2^-cos2x+2^-sin2x=sin y+cos y   a-t-elle?
      (A) 0
      (B) 1
      (C) 2
      (D) 4
      (E) autre réponse

5. Pour la suite $a_1, a_2, a_3, \ldots$ , soient les deux premiers termes a₁=2 et a₂=3 et $a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n-2}}$ , si n $\geq$ 3. Donner la limite de a_n si n $\to$ $\infty$ .
      (A) $9^{\frac13}$
      (B) $18^{\frac13}$
      (C) $2\sqrt{3}$
      (D) $\sqrt2 \cdot 6^{\frac13}$
      (E) $\sqrt{6}$