Exercices de mathématiques concours QCM

octobre 2009.

prière de lire le règlement du concours

Date limite d'envoi : 19 novembre 2009

Niveau 1

Niveau 1

1. La somme de 15 nombres entiers tous différents strictement positifs est 122. Parmi les nombres ci-dessous, lequel interviendra avec certitude parmi les termes de l’addition?
      (A) 13
      (B) 14
      (C) 15
      (D) 16
      (E) 17

2. Sur une carte, nous avons écrit le 1, sur deux cartes le 2, sur trois cartes le 3 et ainsi de suite, enfin sur vingt cartes le 20. Nous avons posé ensuite dans une boite ces $1+2+3+\ldots+20=210$ cartes ainsi préparées. Au moins combien de cartes devons nous tirer de la boîte, les yeux fermés, pour en avoir 8 où figurent les mêmes nombres?
      (A) 56
      (B) 120
      (C) 141
      (D) 160
      (E) 202

3. J’ai pensé à 5 nombres naturels puis j’ai choisi deux parmi eux de toutes les manières possibles et calculé leurs sommes. Combien peut-il y avoir de nombres impairs parmi les 10 sommes ainsi obtenues?
      (A) 0
      (B) 3
      (C) 4
      (D) 6
      (E) 7

4. Pour construire une colonne, nous avons collé des cubes de même taille en les assemblant par leurs faces complètes. (Les cubes sont superposés, ils ne sont pas l’un à côté de l’autre.) La surface de la colonne ainsi obtenue est égale à 9 fois la surface d’un cube. Combien de cubes avons-nous assemblés?
      (A) 9
      (B) 10
      (C) 11
      (D) 12
      (E) 13

5. Combien y a-t-il de nombres à trois chiffres contenant le chiffre 9?
      (A) 199
      (B) 200
      (C) 221
      (D) 252
      (E) 280

Niveau 2

1. Concernant quelques caisses, nous savons seulement que la somme de leurs poids est 10 tonnes et que le poids d’une caisse n’est pas supérieur à 1 tonne. Nous souhaitons transporter ces caisses en un seul trajet par des camions de capacité 3 tonnes. Donner le nombre minimum de camions qui sera toujours suffisant pour transporter les caisses.
      (A) 4
      (B) 5
      (C) 6
      (D) 7
      (E) 8

2. Remplir un tableau de 2009×2009, similairement au tableau de 4×4 présenté par la figure. Donner la somme des nombres écrits dans le tableau ainsi obtenu.

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

      (A) 4036081
      (B) 4056261405
      (C) 7954438762
      (D) 8108486729
      (E) 8112522810

3. Ecrire tous les nombres naturels à deux chiffres sur des feuilles de papier (un par feuille), puis poser toutes les feuilles dans une caisse. Au moins combien de feuilles doit-on tirer de la caisse pour avoir deux nombres tels que le produit de leurs chiffres soit de même valeur?
      (A) 27
      (B) 33
      (C) 38
      (D) 64
      (E) autre réponse

4. Combien y a-t-il de nombres naturels d’au plus quatre chiffres dont la division par 2 donne 1 comme reste, la division par 3 donne 2 comme reste, la division par 4 donne 3 comme reste, la division par 5 donne 4 comme reste, la division par 6 donne 5 comme reste, la division par 7 donne 6 comme reste?
      (A) 11
      (B) 12
      (C) 20
      (D) 23
      (E) 24

5. Combien de centimètres le périmètre d’un triangle peut-il mesurer au maximum, sachant que ses trois hauteurs mesurent 2, 4 et 6 centimètres?
      (A) moins que10
      (B) 12
      (C) 13
      (D) plus que 14
      (E) autre réponse

Niveau 3

1. Dans un groupe de 12 personnes, jouant aux cartes dans une salle, Jean et Claude se connaissent bien. Jean a remarqué que si une personne quelconque quitte la salle, chacun des autres aura le même nombre de connaissances restant dans la salle. Au moins combien de personnes Pierre connaît-il dans ce groupe?
      (A) 3
      (B) 5
      (C) 6
      (D) 10
      (E) 11

2. Donner la somme des chiffres dans le plus petit nombre naturel dont la moitié est carré parfait et le tiers est le cube d’un nombre entier.
      (A) 9
      (B) 12
      (C) 14
      (D) 18
      (E) 21

3. Combien de tours au plus peut-on placer sur un échiquier de 10×10 de telle façon que chacune d’entre elles attaque une et une seule autre?
      (A) 10
      (B) 11
      (C) 12
      (D) 13
      (E) 14

4. Combien de nombres naturels successifs peut-on donner au plus de telle façon que la somme des chiffres ne soit divisible par 11 pour aucun d’entre eux?
      (A) 10
      (B) 20
      (C) 28
      (D) 29
      (E) plus de 29

5. A un cours de mathématiques, le professeur a écrit un nombre au tableau. L’un des élèves a dit: "Le nombre est divisible par 31." Le deuxième élève: "Le nombre est divisible par 30." Selon un troisième élève le nombre est divisible par 29, selon un quatrième par 28, et ainsi de suite. Enfin, le trentième élève a dit que le nombre est divisible par 2. Le professeur a déclaré ensuite que parmi les trente affirmations il n’y avait que deux fausses et qu’elles ont été prononcées l’une après l’autre. Quels étaient les deux élèves dont les affirmations étaient fausses? (On suppose que le professeur a dit la vérité.)
      (A) 8., 9.
      (B) 12., 13.
      (C) 16., 17.
      (D) 22., 23.
      (E) 26., 27.

Niveau 4

1. Dans une corbeille, il y a des asticots dans 10 pommes sur 100. En choisissant au hasard cinq pommes de cette corbeille, donner une valeur approximative de la probabilité d’avoir une ou plusieurs avec des asticots.
      (A) 0,358
      (B) 0,416
      (C) 0,477
      (D) 0,515
      (E) 0,587

2. Combien y a-t-il de nombres naturels n tels que 2ⁿ soit diviseur de (5ⁿ-1)?
      (A) 3
      (B) 5
      (C) 6
      (D) 12
      (E) un nombre infini

3. Combien de tirages différents au loto peut-il y avoir dans lesquels les 5 nombres tirés constituent une suite arithmétique? (sur chaque billet de loto, chacun des nombres de 1 à 90 intervient une et une seule fois).
      (A) 524
      (B) 648
      (C) 714
      (D) 828
      (E) 968

4. Encadrer les valeurs possibles de l’expression ci-dessous, sachant qu’à la place de $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ on écrit les 10 premiers nombres naturels ordonnés de toutes les manières possibles.

$K= |a_1 - a_2 | + |a_2 - a_3 | + \ldots + |a_9 - a_{10} | + |a_{10} - a_1 |$

      (A) 14 $\leq$ K $\leq$ 48
      (B) 18 $\leq$ K $\leq$ 50
      (C) 20 $\leq$ K $\leq$ 50
      (D) 20 $\leq$ K $\leq$ 52
      (E) 22 $\leq$ K $\leq$ 50

5. Quelle est la probabilité approximative que chacun des nombres d’un tirage au loto (cinq nombres tirés) soit égal à la somme de deux nombres carrés parfaits? (le 0 est aussi un carré parfait.) Exemple: 5, 16, 25, 41, 64. (sur chaque billet de loto, chacun des nombres de 1 à 90 intervient une et une seule fois).
      (A) 0,009
      (B) 0,010
      (C) 0,015
      (D) 0,027
      (E) 0,031