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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques concours QCM

5. tour 2009.

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Date limite d'envoi : 11 mai 2010

5-6

Niveau 1

1. Justine a lu quelque chose sur la faune d’une île imaginaire. Deux sortes d’animaux vivent sur l’île: les quarante-pattes (qui ont une tête et quarante pattes) et les dragons à sept têtes. (On sait qu’il y a au moins 2 de chacune des deux espèces d’animaux sur cette île.) Les animaux vivant sur l’île ont au total 54 têtes et 298 pattes. Combien de pattes un dragon à sept têtes a-t-il?
      (A) 2
      (B) 4
      (C) 7
      (D) 14
      (E) ne peut pas être déterminé

2. Olivier a placé le mot MORBIER sur la table en déposant sept bouts de cartons, chacun contenant une lettre. Stéphane a demandé à Olivier s’il lui permettait d’ordonner les lettres différemment. Olivier a dit qu’il était d’accord mais que les positions relatives des voyelles ne devaient pas être modifiées. Combien de mots(pas forcément intelligibles) peut-on constituer, avec ces 7 lettres, dans lesquels l’ordre des voyelles est le même qu’à l’origine?
      (A) 168
      (B) 840
      (C) 1680
      (D) 2520
      (E) 5040

3. Ludovic et Matthieu jouent au jeu suivant: ils ont huit boules de couleur en pâte à modeler (dont 2 rouges, 2 vertes, 2 bleues et 2 jaunes), les joueurs placent celles-ci à tour de rôle dans les sommets d’un cube. Ludovic commence, il peut placer n’importe quelle boule dans n’importe quel sommet. Ensuite, Matthieu place une des boules restantes dans un sommet encore libre du cube. Puis, c’est le tour de Ludovic selon les mêmes règles et ils continuent ainsi jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de boule (et plus de sommet de cube libre). Si, à la fin du jeu, le cube a une arête ayant à ses extrémités deux boules de même couleur, alors Ludovic gagne, dans le cas contraire c’est Matthieu qui gagne.

Considérons les trois affirmations suivantes:

(1) Que Ludovic joue de quelque manière que ce soit, Matthieu a une tactique par laquelle il gagne sûrement

(2) Que Matthieu joue de quelque manière que ce soit, Ludovic a une tactique par laquelle il gagne sûrement

(3) chaque garçon peut jouer de telle manière que l’autre gagne

Laquelle(lesquelles) des affirmations ci-dessus est(sont) vraie(s)?
      (A) uniquement la première
      (B) uniquement la seconde
      (C) uniquement la troisième
      (D) aucune
      (E) plusieurs sont vraies

4. Helena a écrit dans son carnet des nombres entiers strictement positifs dont les chiffres sont différents et le produit de leurs chiffres est égal à 72. Au maximum combien de nombres différents a-t-elle pu écrire?
      (A) 14
      (B) 18
      (C) 36
      (D) 68
      (E) 72

5. Julie et Marie ont fait une excursion – chacune de son côté. On a appris que la durée de leur absence était la même, elles ont parcouru la même distance et chacune s’est arrêtée en chemin pour se reposer. On sait que Julie était en route deux fois plus longtemps que le temps de repos de Marie et que Marie était en route trois fois plus longtemps que le temps de repos de Julie. Laquelle avançait plus vite et de combien?
      (A) Julie avançait deux fois plus vite que Marie
      (B) Julie avançait $\frac32$ fois plus vite que Marie
      (C) les deux filles avançaient à la même vitesse
      (D) Marie avançait $\frac43$ fois plus vite que Julie
      (E) Marie avançait $\frac54$ fois plus vite que Julie

Niveau 2

1. On lance un dé régulier trois fois de suite puis, en écrivant les chiffres obtenus les uns après les autres, on obtient un nombre à trois chiffres. Combien de nombres à trois chiffres peut-on obtenir ainsi qui soient divisibles par 9?
      (A) 18
      (B) 25
      (C) 26
      (D) 32
      (E) 36

2. Dans un lac rectangulaire, la pêche est autorisée dans trois zones carrées isométriques ayant des côtés parallèles aux côtés du rectangle. Les côtés du rectangle sont de 1000 et de 1500 mètres, les carrés ont pour longueur de côté 500 mètres. Les centres des trois carrés forment un triangle équilatéral de côté 400 mètres, un de ses côtés étant parallèle au côté le plus long du rectangle. On sait de plus qu’aucun des trois carrés ne dépasse les bords du lac. Sur une zone d’environs combien de m² la pêche est-elle autorisée?
      (A) 750000
      (B) 800000
      (C) 843215
      (D) 850000
      (E) 876795

3. Au maximum combien de nombres peut-on choisir parmi les nombres $1,2,3,\ldots,100$ de telle façon que le triple d’aucun nombre choisi ne soit choisi?
      (A) 33
      (B) 66
      (C) 67
      (D) 70
      (E) 76

4. 12 enfants sont assis sur deux bancs, 6 sur chaque. Parmi eux, il n’y a pas deux qui auraient le même âge (leurs âges sont des nombres entiers), la somme et le produit des âges des enfants assis sur un banc sont égaux à la somme et au produit des âges des enfants assis sur l’autre banc. Le plus âgé des enfants a 16 ans. Donner l’âge du deuxième plus jeune enfant assis sur le même banc que lui.
      (A) 2
      (B) 3
      (C) 4
      (D) 5
      (E) 6

5. De combien de manières différentes peut-on choisir parmi 10 filles et 5 garçons un groupe(non vide) dans lequel il y aura deux fois plus de garçons que de filles?
      (A) 100
      (B) 225
      (C) 250
      (D) 325
      (E) 400

Niveau 3

1. La somme des nombres $a_1, a_2, \ldots, a_7$ positifs ou nuls est égale à 1. Soit M le maximum des quantités a₁+a₂+a₃, a₂+a₃+a₄, a₃+a₄+a₅, a₄+a₅+a₆, a₅+a₆+a₇. Quelle peut être la valeur minimale de M?
      (A) $\frac13$
      (B) $\frac12$
      (C) $\frac23$
      (D) $\frac37$
      (E) $\frac25$

2. Donner la partie entière du nombre

$\sqrt{6+\sqrt{6+ \ldots + \sqrt{6}}} + \root3\of{6+\root3\of{6 + \ldots + \root3\of{6}}}$

où le nombre de racines carrées et le nombre de racines cubiques sont égaux à 100.
      (A) 3
      (B) 4
      (C) 5
      (D) 6
      (E) 7

3. Parmi 11 nombres strictement positifs, chaque nombre est égal à la somme des carrés des dix autres. Donner l’inverse du plus petit nombre.
      (A) 1
      (B) 4
      (C) 8
      (D) 10
      (E) 100

4. Combien d’intervalles fermés est-il possible de donner au maximum sur la droite des nombres, de telle manière que parmi trois quelconques il y ait deux ayant une partie commune et que la partie commune de quatre quelconques soit vide?
      (A) 4
      (B) 5
      (C) 6
      (D) 7
      (E) 8

5. Le polynôme à coefficients entiers ax²+bx+c possède deux racines différentes supérieures à 0 et inférieures à 1. Quelle peut être la valeur minimale de |a|?
      (A) $\sqrt{2}$
      (B) $1+\sqrt{3}$
      (C) 1
      (D) 4
      (E) 5

Niveau 4

1. Donner le nombre naturel maximal k pour lequel on peut trouver, d’un nombre infini de fois, k nombres naturels consécutifs tels que chacun d’eux puisse s’écrire comme la somme de deux nombres carrés parfaits? (Remarque: Ne pas oublier que 0 est aussi un nombre carré parfait!)
      (A) 2
      (B) 3
      (C) 4
      (D) 5
      (E) 6

2. Soient a,b,c,d des nombres entiers strictement positifs différents pour lesquels on a : a+b=cd et ab=c+d. Combien de valeurs différentes a peut-il prendre?
      (A) 1
      (B) 3
      (C) 4
      (D) 5
      (E) 6

3. Combien de solutions réelles x l’équation (2x-1)ⁿ+(1-x)ⁿ=xⁿ a-t-elle, sachant que n $\geq$ 6 est un nombre pair strictement positif?
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 4
      (D) 5
      (E) n

4. On a jeté au hasard les clefs de 25 tirelires dans les tirelires fermées, exactement une dans chaque. Ensuite, on a cassé une des tirelires. Quelle est la probabilité qu’on puisse ouvrir toutes les autres sans en casser d ‘autres?
      (A) $\frac{1}{24!}$
      (B) 0,05
      (C) $\frac{5!}{25!}$
      (D) $\frac{1}{5}$
      (E) $\frac{1}{25}$

5. Quelle est la limite de la suite $a_n = \root{n}\of{\binom{2n}{n}}$ ? (C’est à dire quelle est la valeur que la suite approchera avec une précision quelconque si la valeur de n est grande?)
      (A) $\sqrt{2} \pi$
      (B) $\frac{2\pi}{\sqrt3}$
      (C) $\frac{15}{4}$
      (D) 2
      (E) 4