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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques concours QCM

4. tour 2009.

prière de lire le règlement du concours

Date limite d'envoi : 02 avril 2010

Niveau 1

Niveau 1

1. Boris a commencé à écrire dans son carnet les nombres entiers strictement positifs, dans l’ordre, en commençant par le 1. Il est juste en train d’écrire le 2010-ième chiffre. Quel est ce chiffre?
      (A) 0
      (B) 1
      (C) 5
      (D) 6
      (E) 7

2. A un cours de maths, Armand a dessiné un carré dans son cahier et Julien un rectangle dans le sien. Leur professeur a affirmé, en regardant leur travail:

1. Le carré et le rectangle ont la même aire.

2. Le périmètre du carré est égal aux $\frac45$ -ième du périmètre du rectangle.

3. La longueur du rectangle est le quadruple de sa largeur.

4. La mesure des côtés, des périmètres et des aires de chacune des deux figures est un nombre entier inférieur à 100.

Combien de longueurs différentes le côté du carré d’Armand peut-il avoir dans les conditions données?
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 3
      (D) 4
      (E) 5

3. Julie a découpé le quadrilatère grisé à partir d’un carré de côté 6 centimètres (deux sommets de du quadrilatère sont les points de milieu de deux côtés du carré, le troisième sommet est le milieu du carré). Donner l’aire du quadrilatère de Julie en centimètre carré.

      (A) 8
      (B) 8,5
      (C) 9
      (D) 9,5
      (E) 10

4. Florence, Suzanne, Julie et Marie ont grimpé dans une tour panoramique où un escalier en colimaçon composé de 200 marches permet de monter. Comme il s’est mis à pleuvoir, elles voulaient descendre le plus vite possible et chacune d’elles courait comme elle pouvait en descendant l’escalier: Florence sautait les marches par deux, Suzanne par trois, Julie par quatre, Marie par cinq. Mis à part les marches de début et de fin (c’est à dire la 0. et la 200. marches) combien y avait-il de marches qu’au moins trois filles ont touchées en descendant?
      (A) 11
      (B) 25
      (C) 27
      (D) 34
      (E) 56

5. Stéphane a écrit +1 ou –1 dans chaque case d’un tableau de 10×10. Ensuite, il a écrit, à la fin de chaque ligne et en bas de chaque colonne, la somme des 10 nombres se trouvant dans la ligne/colonne concernée. Parmi les 20 sommes écrites par Stéphane, combien de nombres différents peut-il y avoir au maximum?
      (A) 8
      (B) 10
      (C) 11
      (D) 15
      (E) 20

Niveau 2

1. Un homme a dit à son petit frère: "J’ai maintenant le double de l’âge que tu avais au moment où j’avais l’age que tu as en ce moment. Quand tu auras l’age que j’ai actuellement, alors ensemble nous aurons 63 ans." Quel age l’homme avait-il à la naissance de son petit frère?
      (A) 3
      (B) 5
      (C) 6
      (D) 7
      (E) 9

2. A un tournoi d’échecs, chaque joueur joue une fois avec tous les autres participants. 25 parties sont déjà terminées et chaque joueur a encore 4 parties à jouer. Combien y a-t-il de participants à ce tournoi?
      (A) 8
      (B) 9
      (C) 10
      (D) 11
      (E) 15

3. Par combien de zéros un nombre écrit sous la forme de 9ⁿ+1 peut-il se terminer au maximum, sachant que n est un nombre entier strictement positif?
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 3
      (D) 4
      (E) plus de 4

4. En divisant un nombre par 4, le reste est 3; en divisant ce même nombre par 9, le reste est 5. Donner le reste de la division de ce nombre par 36.
      (A) 4
      (B) 9
      (C) 13
      (D) 17
      (E) 23

5. A une soirée dansante, 37 personnes ont participé, des filles et des garçons. Après la fête, on a appris que la première fille a dansé avec 8 garçons, la deuxième avec 9, la troisième avec 10, ..., et la dernière fille a dansé avec tous les garçons. Combien y avait-il de filles à cette soirée?
      (A) 13
      (B) 15
      (C) 16
      (D) 17
      (E) 18

Niveau 3

1. Le roi Arthur donne la possibilité à ses gardes du corps de pratiquer trois sports: natation, échecs et tennis. Nous avons des gardes du corps les informations suivantes:

a) parmi les joueurs de tennis, exactement ceux qui nagent jouent aussi aux échecs,

b) il n’y a aucun joueur d’échecs qui ne ferait ni natation ni tennis,

c) ceux qui ne nagent pas mais jouent au tennis, ceux-ci jouent aussi aux échecs.

Parmi les affirmations suivantes, quelles sont celles qui sont sûrement vraies?

a) chaque joueur d’échecs fait de la natation,

b) chaque nageur joue au tennis,

c) chaque joueur de tennis joue aux échecs.
      (A) a) et b)
      (B) a) et c)
      (C) b) et c)
      (D) a) et b) et c)
      (E) aucun des précédents

2. Déterminer le chiffre des centaines du plus petit nombre entier strictement positif, divisible par 999, n’ayant pas le 9 parmi ses chiffres.
      (A) 2
      (B) 5
      (C) 6
      (D) 8
      (E) 9

3. Combien de triplets de nombres réels ordonnés (x,y,z) existe-t-il qui soient solutions du système d’équations suivant?

x+y+z=11 , x²+2y²+3z²=66

      (A) 0
      (B) 1
      (C) 2
      (D) 10
      (E) un nombre infini

4. Un polygone convexe de 12 côtés inscrit dans un cercle possède 6 côtés mesurant chacun $\sqrt2$ unités, chacun des autres côtés mesure $\sqrt{24}$ unités. Donner la mesure du rayon du cercle.
      (A) $\approx$ 5,747
      (B) $\approx$ 5,936
      (C) $\approx$ 6,164
      (D) $\approx$ 6,365
      (E) $\approx$ 7,056

5. Donner la somme des chiffres du plus grand nombre entier ne pouvant pas être obtenu comme la somme de 100 – pas forcément différents – nombres composés. (Un nombre est appelé composé si on peut l’obtenir comme le produit de deux nombres entiers supérieurs à 1.)
      (A) 7
      (B) 10
      (C) 11
      (D) 13
      (E) 19

Niveau 4

1. Quel est le plus grand nombre p tel qu’il existe des nombres réels x et y satisfaisant p=x+y et x²+4y²+8y+4 $\leq$ 4x?
      (A) p $\approx$ 2,952
      (B) p $\approx$ 2,997
      (C) p $\approx$ 3,058
      (D) p $\approx$ 3,183
      (E) p $\approx$ 3,236

2. Donner la mesure du plus petit angle du cerf-volant inscriptible dans un cercle, sachant que le centre du cercle circonscrit est un point du cercle inscrit dans le cerf-volant?
      (A) $\approx$ 38°10,4'
      (B) $\approx$ 40°6'
      (C) $\approx$ 41°9,2'
      (D) $\approx$ 44°22,5'
      (E) $\approx$ 45°14,8'

3. Donner le nombre de solutions, appartenant à l’intervalle [0, $\pi$ ], de l’équation $(\sin^4x+1)(\cos^4x+1)=\frac{25}{16}\cdot \sin^42x$ .
      (A) 0
      (B) 1
      (C) 2
      (D) 3
      (E) 4

4. Le pentagone équilatéral ABCDE ne possède pas quatre sommets qui soient dans un même plan. Les angles ABC,BCD,CDE,DEA sont des angles droits. Donner la mesure de l’angle EAB.
      (A) $\approx$ 98°53'
      (B) $\approx$ 103°68'
      (C) $\approx$ 108°08'
      (D) $\approx$ 110°55'
      (E) $\approx$ 114°81'

5. L’aire d’un quadrilatère convexe est 32 cm², la somme de deux côtés opposés et d’une de ses diagonales est 16 cm. Quelle est la longueur de l’autre diagonale?
      (A) 8 cm
      (B) $8\sqrt2$ cm
      (C) $8\sqrt3$ cm
      (D) 12 cm
      (E) impossible de déterminer avec ces données