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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques concours QCM

décembre 2008.

prière de lire le règlement du concours

Date limite d'envoi : 14 janvier 2009

5-6

Niveau 1

1. Un des côtés d’un triangle mesure 6 cm, un autre côté mesure 9 cm. On sait seulement du troisième côté que la mesure de sa longueur en centimètre est un nombre entier. Combien de mesures différentes ce troisième côté peut-il avoir?
      (A) 1
      (B) 3
      (C) 6
      (D) 8
      (E) 11

2. On a multiplié quelques (au moins deux) nombres impairs successifs. Par combien de sortes de chiffres le produit obtenu peut-il se terminer?
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 3
      (D) 4
      (E) 5

3. Nous avons peint en bleu l’extérieur d’un cube massif ayant des arêtes de 8 unités, puis nous avons découpé ce cube, parallèlement à ses arêtes, en 512 petits cubes qui ont pour longueur d’arêtes l’unité. Soit A le nombre des petits cubes ayant exactement une face bleue, soit B le nombre de ceux ayant exactement deux faces bleues. Donner la valeur de A-B.
      (A) 64
      (B) 144
      (C) 208
      (D) 216
      (E) 298

4. Soient donnés 5 nombres entiers différents strictement positifs. En les rangeant deux par deux, on soustrait chaque fois l’un à l’autre (toujours le plus petit au plus grand), et on obtient ainsi 10 différences. Combien de nombres impairs peut-on avoir au plus parmi les différences obtenues?
      (A) 2
      (B) 3
      (C) 5
      (D) 6
      (E) 7

5. Combien y a-t-il de nombres entiers strictement positifs à trois chiffres qui ne soient divisibles ni par 3 ni par 5?
      (A) 223
      (B) 378
      (C) 480
      (D) 521
      (E) 589

Niveau 2

1. Combien y a-t-il de nombres naturels tels que le produit de leurs chiffres soit entre 885 et 895?
      (A) 0
      (B) 5
      (C) 10
      (D) 12
      (E) 20

2. Armand a écrit les nombres naturels de 1 à 81dans les cases d’un tableau d’échecs de 9×9. Quentin voudrait deviner l’emplacement des nombres. Il peut poser des questions uniquement en désignant une partie carrée du tableau délimitée par des lignes de la grille. Armand répond en énumérant les nombres se trouvant dans la zone, dans l’ordre de son choix. Combien de questions Quentin doit-il poser au moins pour connaître l ‘emplacement de tous les nombres?
      (A) 8
      (B) 12
      (C) 16
      (D) 20
      (E) 22

3. Père et fils faisaient du patin à glace sur une piste circulaire. De temps en temps, le père doublait son fils. Quand le fils commençait à faire des tours dans l’autre sens, ils se sont rendu compte que de cette façon ils se croisaient cinq fois plus souvent qu’avant. Combien de fois le père est-il plus rapide que son fils?

      (A) 1,2 fois
      (B) 1,5 fois
      (C) 1,8 fois
      (D) 2     fois
      (E) 2,5 fois

4. La rédaction de New York de KöMaL a été cambriolée. Les voleurs ont emporté un gros paquet de journaux d’une valeur de près de 2 millions et demi de dollars. Plus tard, on les a arrêtés mais ils ont déjà vendu un septième de leur butin. La rédaction a pu récupérer les exemplaires restants. Pour compenser les pertes, l’exemplaire était vendu ce mois-là 60 cents plus chère mais, même de cette façon, les dommages n’étaient toujours pas couverts. Heureusement, quelques lecteurs enthousiastes ont fait des dons d’un montant de 1000 dollars au total et les pertes ont été ainsi largement compensées. Quel était le prix d’un exemplaire à l’origine, avant l’augmentation occasionnelle?

      (A) 1 dollar 58 cents
      (B) 2 dollars 19 cents
      (C) 2 dollars 66 cents
      (D) 3 dollars 61 cents
      (E) 3 dollars 80 cents

5. Le côté du carré ABCD mesure 6 cm. Le point P du côté BC est situé à une distance de 2 cm du point C, le point Q du côté DA se trouve aussi à 2 cm du point A. Soit R le point d’intersection de AP et de BQ, soit S le point de CQ et de DP. Donner l’aire du quadrilatère PQRS en cm².

      (A) 6,5
      (B) 8
      (C) 9
      (D) 9,5
      (E) 10

Niveau 3

1. Soient A=2007²⁰⁰⁸-2006²⁰⁰⁸, B=2007²⁰⁰⁷-2006²⁰⁰⁷. Donner le PGCD de A et de B.
      (A) 1
      (B) 5
      (C) 7
      (D) 17
      (E) 19

2. Soient p   et q des nombres premiers, n un nombre naturel tels que l’équation suivante soit vraie: $\root{n}\of{p+q} = p-q$ . Quelle peut être la valeur du produit pqn?
      (A) 36
      (B) 45
      (C) 56
      (D) 72
      (E) 80

3. Chaque arête d’une pyramide à base carrée a pour mesure 2 unités. Une de ses faces latérales est la base d’une autre pyramide dont les arêtes latérales sont de même longueur. La longueur totale des arêtes du polyèdre ainsi constitué est de 18 unités. Quel est son volume?
      (A) $\sqrt2$
      (B) $\sqrt3$
      (C) $2\sqrt2$
      (D) 2
      (E) $3\sqrt2$

4. Appelons le nombre $A^* = a_0 a_1 \ldots a_n$ « l’inversé » du nombre à (n+1) chiffres $A=a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0$ écrit dans le système à base dix. (donc, l’inversé de 123 est 321, celui de 120 est 21.) Combien y a-t-il de nombres naturels à quatre chiffres qui « s’inversent » si nous les multiplions par 9, c’est à dire tels que 9A=A*?
      (A) 1
      (B) 12
      (C) 28
      (D) 32
      (E) 110

5. On a calculé toutes les sommes à deux termes possibles de quatre nombres donnés. Parmi elles, les quatre plus petites sont 1, 5, 8 et 9. Lequel des nombres suivants peut-il être l’un des quatre nombres?
      (A) 1
      (B) 4
      (C) 4,5
      (D) 10
      (E) 11

Niveau 4

1. Dans le quadrilatère convexe ABCD, la valeur de la somme AB+BD+DC ne dépasse pas 2; l’aire du quadrilatère est $\frac12$ . Quelle peut être la longueur de la diagonale AC ?
      (A) 1
      (B) $\frac{\sqrt3}{2}$
      (C) $\sqrt2$
      (D) $\sqrt3$
      (E) $\frac{2\sqrt2}{3}$

2. Ali Baba vend des tapis rectangulaires. Il aimerait connaître les dimensions d’un de ses tapis mais ses instruments de mesures sont inutilisables. Il a remarqué qu’il arrive à placer le tapis dans deux de ses chambres rectangulaires de telle façon que chaque coin du tapis touche un des murs de la chambre. Donner les dimensions du tapis, sachant que celles des chambres sont 38×55 et 50×55 (pieds)?
      (A) 30×40
      (B) 20×40
      (C) 24×52
      (D) 25×50
      (E) 30×50

3. A une épreuve de test, les candidats devaient répondre à 4 questions en cochant chaque fois une des trois réponses possibles. Combien de candidats y avait-il au plus, sachant que les examinateurs ont trouvé, pour trois candidats quelconques, une question à laquelle chacun a coché une réponse différente?
      (A) 5
      (B) 6
      (C) 8
      (D) 9
      (E) 11

4. Combien de nombres entiers positifs ou nul existe-t-il tels qu’ils soient égaux à une fois et demi le produit de leurs chiffres?
      (A) 2
      (B) 4
      (C) 5
      (D) 7
      (E) 8

5. Combien y a-t-il de nombres naturels n compris entre 1894 et 2008 tels que les n premiers carrés parfaits puissent être classés en deux groupes de telle façon que la somme des nombres dans les deux groupes soit la même? (pour plus de précision : 1894 $\leq$ n $\leq$ 2008)
      (A) 14
      (B) 58
      (C) 76
      (D) 78
      (E) 82