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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques concours QCM

avril 2009.

prière de lire le règlement du concours

Date limite d'envoi : 30 mai 2009

5-6

Niveau 1

1. Les longueurs des côtés d’un rectangle sont des nombres entiers d’unités, son aire est de 2009 unités. Combien de valeurs différentes son périmètre peut-il avoir?
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 3
      (D) 4
      (E) 5

2. La somme de deux nombres est égale à 28, l’un fait 40% de l’autre. Donner la différence des deux nombres.
      (A) 7
      (B) 9
      (C) 10
      (D) 12
      (E) 14

3. Au cours d’un certain mois, les dates de trois jeudis étaient des nombres impairs. Quelle pouvait être la date le dernier dimanche du mois?
      (A) le 25 ou le 26
      (B) le 25 ou le 27
      (C) le 26 ou le 27
      (D) le 26 ou le 28
      (E) le 25, le 26 ou le 27

4. On a écrit les uns après les autres les 100 premiers nombres entiers strictement positifs; on a ensuite barré 10 chiffres du nombre ainsi obtenu de telle façon que le nombre restant soit le plus grand possible. Donner le cinquième chiffre du nombre restant en allant de gauche vers la droite.
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 4
      (D) 5
      (E) 9

5. On voudrait découper un carré en 16 parts avec des droites. De combien de droites a-t-on besoin au moins pour cela?
      (A) 4
      (B) 5
      (C) 6
      (D) 7
      (E) 8

Niveau 2

1. La mesure en cm de chacun des côtés d’un rectangle est un nombre entier, son périmètre et son aire sont donnés par un même nombre (en cm et en cm²). Combien de longueurs différentes le côté le plus court du rectangle peut-il avoir?
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 3
      (D) 4
      (E) 5

2. Au cours de sa tournée dans la cuisine, une souris a remarqué une barrette de fromage longue. Elle a constaté que la barrette faisait exactement un mètre de long du début jusqu’à la fin. Etant une souris superstitieuse – pourvu qu’on ne l’y prenne pas – elle a d’abord consommé exactement le tiers du milieu de la barrette (première portion). Ensuite, elle a mangé le tiers situé au milieu de chaque morceau restant (deuxième portion), puis le tiers situé au milieu de chacun des quatre morceaux restants (troisième portion) etc. Après avoir consommé la dixième portion, elle se sentait rassasiée et est retournée dans son trou. Donner la longueur en mètre de la partie de barrette qu’elle a consommée, arrondie au millième.
      (A) 0,876
      (B) 0,892
      (C) 0,928
      (D) 0,953
      (E) 0,983

3. Dans un carré de côté 5 cm, on trace selon la figure un triangle rectangle ayant pour longueur de côté 3 et 4 cm. Donner en cm la longueur du segment désigné par x.

      (A) 0,75
      (B) 1
      (C) 1,25
      (D) 1,5
      (E) 2

4. Un corps géométrique est délimité par 6 octogones, 8 hexagones et 12 carrés. Trois arêtes partent de chacun de ses sommets. Donner le nombre de sommets de ce corps.
      (A) 26
      (B) 40
      (C) 48
      (D) 52
      (E) 96

5. La différence de deux nombres impairs est 56. Quel est le maximum possible du PGCD de ces deux nombres?
      (A) 1
      (B) 3
      (C) 7
      (D) 27
      (E) 55

Niveau 3

1. Combien y a-t-il de nombres à cinq chiffres tels qu’en les divisant par le nombre à quatre chiffres obtenu en éliminant leur chiffre de milieu on obtienne un nombre entier?
      (A) 25
      (B) 64
      (C) 90
      (D) 126
      (E) 131

2. Combien y a-t-il de nombres naturels n tels que 2⁸+2¹¹+2ⁿ soit égal au carré d’un nombre entier?
      (A) 1
      (B) 4
      (C) 6
      (D) 9
      (E) 12

3. Il y a 30 exercices à un concours de maths. Pour une bonne solution, on peut obtenir 4 points, pour une solution erronée on enlève 1 point. Si quelqu’un ne donne pas de solution à un problème, il obtient 0 point pour ce dernier. Donner le nombre de résultats possibles pour un concurrent.
      (A) 145
      (B) 147
      (C) 148
      (D) 150
      (E) 151

4. Une boite contient quelques bouts de papier, avec sur chacun un nombre naturel. En tirant trois bouts de papier quelconques, il y a toujours deux parmi ces trois tels que la somme des nombres qu’ils contiennent est divisible par 5. Combien de bouts de papier au plus peuvent-ils contenir des nombres non divisibles par 5?
      (A) 2
      (B) 3
      (C) 4
      (D) 5
      (E) 6

5. A propos d’un logement de un niveau, on a les informations suivantes:

a) il y a au plus une porte entre deux pièces quelconques

b) à partir d’une pièce quelconque, il y a au plus une porte donnant vers l’extérieur du logement

c) il y a 12 portes dans le logement

Au moins combien de pièces y a-t-il dans le logement?
      (A) 4
      (B) 5
      (C) 6
      (D) 7
      (E) 8

Niveau 4

1. Combien de triplets différents (x,y,z) composés de nombres naturels tels que 3^x+4^y=5^z? (On souligne qu’on parle bien de la différence entre les triplets et non de la différence entre les x,y,z d’un triplet. De plus, le nombre 0, on le considère comme nombre naturel.)
      (A) 1
      (B) 2
      (C) 3
      (D) 5
      (E) 6

2. Combien y a-t-il de couples de nombres (100,k) composés d’entiers strictement positifs (k $\leq$ 100), tels qu’il soit possible d’écrire des nombres dans les cases de l’échiquier 100×100 de telle façon que la somme des nombres inscrits soit positive mais que dans une partie quelconque « sans trou » de dimensions k×k de l’échiquier la somme des nombres inscrits soit négative?
      (A) 68
      (B) 71
      (C) 78
      (D) 85
      (E) 91

3. Donner le nombre de chiffres possible du nombre n tel que le produit $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n = n!$ se termine par 2008 chiffres 0.
      (A) 14
      (B) 16
      (C) 19
      (D) 22
      (E) 25

4. Soit la somme des nombres non négatifs $a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_{2009}$ égale à 1; soit $1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 \ldots + 2009 \cdot a_{2009} = b$ et $1^2 a_1 + 2^2 a_2 + 3^2 a_3 + \ldots + 2009^2 a_{2009} = c$ . Donner la valeur possible de b sachant que c=b².
      (A) 1
      (B) 1,5
      (C) 2
      (D) 3
      (E) 2009

5. Résoudre le système d’équations suivant dans l’intervalle [- $\pi$ , $\pi$ ]:

cos x+cos y=cos (x+y)

sin x+sin y=sin (x+y).

Donner la valeur de |x-y|.
      (A) $\frac{\pi}{3}$
      (B) $\frac{2\pi}{3}$
      (C) $\frac{4\pi}{3}$
      (D) $\frac{3\pi}{2}$
      (E) $\frac{\pi}{2}$