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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques concours QCM

janvier 2009.

prière de lire le règlement du concours

Date limite d'envoi : 12 février 2009

5-6

Niveau 1

1. exercice. Considérer le tableau suivant:

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

Par une méthode similaire à celle du tableau ci-dessus de dimensions 4×4, remplir un tableau de 12×12. Donner la somme des nombres inscrits dans ce dernier.
      (A) 576
      (B) 1536
      (C) 1587
      (D) 1618
      (E) 1728

2. exercice. Combien de résultats différents l’expression $\pm$ 1 $\pm$ 2 $\pm$ 3 $\pm$ 4 $\pm$ 5 $\pm$ 6 $\pm$ 7 peut-elle avoir, sachant qu’à la place de chaque signe $\pm$ on peut écrire soit addition soit soustraction.
      (A) 19
      (B) 21
      (C) 28
      (D) 29
      (E) 57

3. exercice. La différence de deux nombres premiers est égale à 2009. Donner le nombre de diviseurs de la somme des deux nombres premiers.
      (A) 5
      (B) 8
      (C) 12
      (D) de tels nombres premiers n’existent pas
      (E) la solution n’est pas unique

4. exercice. Durant un voyage de classe, il y avait 7 jours où il pleuvait le matin ou l’après-midi. Si un jour il a plu le matin, alors l’après-midi il ne pleuvait plus. Il y avait au total 5 matins sans pluie et 6 après-midi sans pluie. Combien de jours le voyage a-t-il duré?
      (A) 7
      (B) 8
      (C) 9
      (D) 10
      (E) 11

5. exercice. En écrivant des parenthèses à des endroits appropriés dans l’expression 1:2:3:4:5:6:7:8:9:10, on obtient différents résultats. Combien de nombres entiers parmi ceux compris entre 1 et 10 peut-on obtenir de cette façon?
      (A) 0
      (B) 1
      (C) 2
      (D) 3
      (E) 4

Niveau 2

1. exercice. Dans une école, il y a moins de 500 élèves. Si on les mettait en rang par 7, par 10, par 12 ou par 15, dans le dernier rang il y aurait chaque fois un élève. Combien d’élèves y a-t-il dans l’école?
      (A) 383
      (B) 401
      (C) 421
      (D) 457
      (E) 463

2. exercice. Le polygone ABCDE est un pentagone étoile (pour la droite de chacun de ses côtés il est vrai que parmi les autres sommets deux se trouvent d’un côté de cette droite et un de l’autre côté). Donner la somme des angles ABC,BCD,CDE,DEA,EAB.
      (A) 120°
      (B) 180°
      (C) 360°
      (D) 540°
      (E) 720°

3. exercice. Dans une bouteille, il y avait 5 litres d’alcool à 30%. On a oublié de fermer la bouteille et une certaine quantité de liquide s’est ainsi évaporée, de l’alcool s’évaporant plus vite deux fois plus que de l’eau. Le contenu en alcool du liquide restant est passé à 20%. Donner en litre la quantité du liquide restant dans la bouteille.
      (A) $\frac{26}{7}$
      (B) $\frac{52}{7}$
      (C) $\frac{37}{14}$
      (D) $\frac{55}{14}$
      (E) $\frac{20}{7}$

4. exercice. Soient A,B,C les sommets d’un triangle. Soit D le milieu du côté AC, soit E un point du côté BC tel que BE = 1/3BC. Soit F le point d’intersection des droites AE et BD. Donner le rapport des aires du triangle BEF et du quadrilatère DCEF.
      (A) 1:5
      (B) 1:6
      (C) 2:9
      (D) 3:8
      (E) 3:10

5. exercice. En combien de couleurs au plus peut-on colorier les cases d’un tableau de dimensions 3×3 de telle façon qu’on puisse trouver pour deux couleurs quelconques une case pour chacune d’elles qui soit de même couleur et voisine par un côté? (Chaque case est coloriée en une seule couleur.)
      (A) 3
      (B) 4
      (C) 5
      (D) 6
      (E) 7

Niveau 3

1. exercice. Sur un véhicule, les pneus des quatre roues sont neufs. On considère un pneu comme usé s’il a roulé 15 000 km sur une roue arrière ou 25 000 km sur une roue avant. Combien de kilomètres le véhicule peut-il rouler jusqu’à l’usure complète des quatre pneus si au moment opportun on échange la paire de pneus avant avec la paire de pneus arrière?

(On peut supposer qu’on roule toujours sur une route de qualité moyenne, c’est à dire l’usure est proportionnelle à la distance parcourue.)
      (A) 17 500 km
      (B) 17 750 km
      (C) 18 750 km
      (D) 19 120 km
      (E) 19 500 km

2. exercice. Nous avons découpé un nombre carré parfait à six chiffres en trois nombres à deux chiffres de telle façon qu’après cette opération les deux nombres à deux chiffres situés aux extrémités étaient égaux, celui du milieu était égal à la moitié de l’un des deux autres. Donner la somme des chiffres du nombre à six chiffres.
      (A) 15
      (B) 24
      (C) 37
      (D) 46
      (E) 51

3. exercice. Soient donnés sept nombres réels. En sélectionnant quatre quelconques parmi les sept, la somme de ces quatre est plus grande que la somme des trois autres. Combien de nombres au plus peuvent-ils être négatifs parmi ces sept?
      (A) 0
      (B) 1
      (C) 2
      (D) 3
      (E) 7

4. exercice. Dans le triangle ABC, on a AB=AC>BC. On trace un cercle de centre B de rayon BC, ce cercle coupe le côté AC au point D (différent de C), le segment BA au point E. On trace un cercle de même rayon autour de D, celui-ci coupe aussi le côté AB en E, le côté AC en F₁, le prolongement de ce dernier en F₂. Donner la mesure de l’angle BF₂E.
      (A) 15°
      (B) 22°
      (C) 28°
      (D) 30°
      (E) 45°

5. exercice. En vue de distribuer des cadeaux à 109 personnes, on a acheté 109 livres pour 2845 €. Les prix des livres étaient de trois valeurs différentes: 34 €, 27,50 € et 17,50 €. Donner le nombre de livres faisant partie du groupe le moins cher, sachant que les nombres d’exemplaires des différents groupes n’étaient pas très différents (la différence entre deux nombres d’exemplaires ne peut être que 20 au maximum).
      (A) 32
      (B) 38
      (C) 42
      (D) 43
      (E) 46

Niveau 4

1. exercice. Combien de nombres entiers strictement positifs n existe-t-il tels que 1<n<2009, et que 2ⁿ-1 soit divisible par 7?
      (A) 58
      (B) 112
      (C) 186
      (D) 375
      (E) 669

2. exercice. Un camion a démarré à minuit de la ville A en direction de la ville B, une voiture est partie à t₁ heures de B vers A sur le même itinéraire. Ils se sont rencontrés à t₂ heures. La voiture est arrivée à destination r heures plus tard que le camion. – Après avoir terminé leurs travaux, ils ont fait demi-tour, ils se sont rencontrés de nouveau à t₃ heures et ils sont arrivés chez eux en même temps. A quelle heure sont-ils rentrés chez eux?

Données: t₁=2^h40^m, t₂=4^h, r=0^h40^m, t₃=14^h. (Remarque: la vitesse de chaque véhicule peut être considérée comme constante.)
      (A) 15 h 29 min
      (B) 15 h 42 min
      (C) 15 h 59 min
      (D) 16 h 10 min
      (E) 16 h 24 min

3. exercice. Donner la distance entre la droite passant par les points (n,n²) et (n+1,(n+1)²) de la parabole y=x² et la tangente de la parabole parallèle à cette droite.
      (A) $\frac{1}{2\sqrt{4n^2 + 4n + 1}}$
      (B) $\frac{1}{2\sqrt{4n^2 + 4n + 2}}$
      (C) $\frac{2}{4\sqrt{2n^2 + 4n + 2}}$
      (D) $\frac{1}{4\sqrt{4n^2 + 4n + 2}}$
      (E) $\frac{2}{2\sqrt{4n^2 + 4n + 2}}$

4. exercice. De combien de manières différentes peut-on écrire le nombre 420 comme la somme de deux nombres strictement positifs de telle sorte que chaque couple de nombres à additionner soit composé de deux premiers relatifs?
      (A) 30
      (B) 36
      (C) 48
      (D) 54
      (E) 60

5. exercice. Choisir un nombre au hasard parmi les nombres suivants : $0, \frac{1}{100}\pi, \frac{2}{100}\pi, \frac{3}{100}\pi, \ldots, \frac{99}{100}\pi, \pi, \frac{101}{100} \pi, \ldots , \frac{199}{100}\pi , 2\pi$ (chacun des 201 nombres avec la même probabilité). Quelle est la probabilité qu’avec le nombre x choisi l’inégalité suivante soit vraie? $2 \cos x \leq |\sqrt{1+ \sin 2x} - \sqrt{1 - \sin 2x}| \leq \sqrt2$
      (A) $\frac{151}{201}$
      (B) $\frac{101}{201}$
      (C) $\frac{167}{201}$
      (D) $\frac{67}{201}$
      (E) $\frac{134}{201}$