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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques concours QCM

octobre 2008.

prière de lire le règlement du concours

Date limite d'envoi : 05 novembre 2008

Matematika feladatok, 1-6 osztály

Niveau 1

1. exercice. Monsieur Dupont a invité ses amis à son anniversaire. A la fête, les gens qui se connaissaient se saluèrent en se serrant la main (une connaissance est mutuelle). Monsieur Dupont a remarqué que chacun a serré la main d’un nombre de personnes différent. Au moins combien de personnes ont pu assister à l’évènement?
  (A) 5
  (B) 10
  (C) 12
  (D) 15
  (E) Monsieur Dupont s’est trompé

2. exercice. Dans une boîte, il y a des billes bleues, vertes et rouges. En tirant des billes au hasard, on doit en tirer au moins 12 pour en avoir au moins une bleue, en tirer 9 pour avoir au moins une verte, et tirer 16 pour avoir au moins une rouge. Combien de billes y a-t-il dans la boîte?
  (A) 17
  (B) 21
  (C) 25
  (D) 32
  (E) 37

3. exercice. Par combien de 0 se termine le produit des 100 premiers nombres entiers strictement positifs?
  (A) 10
  (B) 11
  (C) 20
  (D) 24
  (E) 25

4. exercice. Nous avons découpé les côtés d’un carré en 4 parts égales, nous avons tracé ensuite dans ce carré un quadrilatère selon la figure.

Donner la fraction de l’aire du carré que l’aire du quadrilatère grisé représente.

  (A) $\frac4{10}$
  (B) $\frac7{16}$
  (C) $\frac12$
  (D) $\frac{17}{32}$
  (E) $\frac9{16}$

5. exercice. Les deux premiers éléments de la suite de Fibonacci sont: 1,1, en suite, chaque élément est obtenu comme la somme des deux précédents: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots$ . Parmi les éléments énumérés par leurs numéros d’ordre, lequel sera divisible par 4?
  (A) 21.
  (B) 46.
  (C) 80.
  (D) 83.
  (E) 84.

Niveau 2

1. exercice. Quatre filles ont participé à une course à pied. Après le concours, on a demandé à chacune d’elles, à quelle place elles ont fini. Anne a dit: Je ne suis ni première ni dernière. Belle: Je ne suis pas première. Sarah: Je suis la première. Mélanie: Je suis la dernière.

Quelqu’un qui a vu la course et à qui on peut faire confiance, a dit: Parmi les quatre réponses, trois sont vraies, une fausse.

Qui était la première?

  (A) Anne
  (B) Belle
  (C) Sarah
  (D) Mélanie
  (E) impossible de le déterminer

2. exercice. Sur une table, il y a un certain nombre de boîtes. Dans chacune de ces boîtes, il y a des billes de couleurs rouge, bleue, jaune et verte. Toto affirme que, quelque soit le remplissage des boîtes, il peut en choisir deux de telle façon qu’elles deux au total contiennent un nombre paire de billes de chacune des quatre couleurs. Combien de boîtes y a-t-il sur la table, sachant que si on en avait une boîte de moins, Toto n’aurait pas forcément raison.
  (A) 5
  (B) 9
  (C) 10
  (D) 17
  (E) 19

3. exercice. Nous avons un cube en bois dont les arêtes mesurent 4 cm. Nous avons fabriqué avec cette même matière un prisme droit à base d’hexagone régulier, plus lourd que le cube, dont les arêtes à la base mesurent 2 cm et dont la hauteur mesure un nombre entier de centimètres. Si nous avions choisi une hauteur d’un centimètre plus petite, alors le cube serait plus lourd. Quelle peut être la hauteur du prisme droit à base d’hexagone régulier?
  (A) 4
  (B) 5
  (C) 6
  (D) 7
  (E) 8

4. exercice. Combien de nombres entiers pairs strictement positifs à six chiffres peut-on créer en utilisant les chiffres 0,1,2,3,4? (Un chiffre peut intervenir plusieurs fois dans le nombre.)
  (A) 120
  (B) 1024
  (C) 4096
  (D) 7200
  (E) 7500

5. exercice. En lançant 6 pièces de monnaie, quelle est la probabilité qu’on ait exactement une face et cinq piles ou une pile et cinq faces?
  (A) $\frac{1}{16}$
  (B) $\frac{3}{16}$
  (C) $\frac{7}{32}$
  (D) $\frac{1}{6}$
  (E) $\frac{12}{32}$

Niveau 3

1. exercice. Une patrouille de souts doit délimiter avec une corde de 255,3 m de long un pentagone dont une des diagonales le divise en un rectangle et un triangle rectangle isocèle. Donner la longueur de la diagonale sachant que l’aire du pentagone doit être maximale.
  (A) $\frac{255,3}{1+\sqrt{2}}$
  (B) $\frac{255,3}{1+\sqrt{3}}$
  (C) $\frac{255,3 \cdot \sqrt{2}}{4}$
  (D) $\frac{255,3}{1+2\sqrt{2}}$
  (E) $\frac{255,3 \cdot (1+\sqrt{2})}{4}$

2. exercice. Dans une usine, une prime dont le montant est un nombre entier de centaines est répartie entre quatre personnes. Elles peuvent choisir entre deux manières de répartition : proportionnellement à leurs salaires mensuels ou bien proportionnellement à leurs nombres d’années passées au travail. Chaque travailleur a voté pour la manière avantageuse pour lui et le vote n’a pas abouti à une décision. A la fin, ils se sont mis d ‘accord que chacun touchera la moyenne de sa prime calculée selon les deux principes, arrondie à la dizaine d’euros. Le plus jeune a reçu ainsi 980 euros. Donner la somme des primes des autres, sachant qu’ils travaillent depuis 14, 17, 21 et 31 ans et leurs salaires actuels sont, dans l’ordre, 1500 €, 1600 €, 1800 € et 2300 €.
  (A) 4020
  (B) 4120
  (C) 4220
  (D) 4320
  (E) 4420

3. exercice. Un comité international est constitué de 5 membres, les représentants de 5 états. Les documents de travail du comité sont gardés dans un coffre fort. Combien de serrures doit avoir le coffre fort pour que l’accès aux documents soit possible seulement si au moins trois membres quelconques du comités sont présents?
  (A) 8
  (B) 10
  (C) 15
  (D) 16
  (E) 18

4. exercice. A un tournoi d’échecs, 8 joueurs ont participé, chacun d’eux a joué avec chacun de ses concurrents une fois. Chaque joueur a obtenu un nombre de points différent. Celui qui a eu le deuxième prix, a obtenu autant de points que les quatre derniers au total. Quel était le résultat de la partie jouée par les concurrents ayant obtenu la III. et la VII. places? (Le vainqueur obtient toujours 1 point, le perdant 0, en cas de match nul chaque joueur reçoit 0,5 point.)
  (A) match nul
  (B) le III. a gagné
  (C) le VII. a gagné
  (D) on peut dire seulement que ce n’était pas un match nul
  (E) il est impossible de déterminer à partir de ces données

5. exercice. Dans un magasin de jeux, on vend 6 sortes d’animaux en peluche, chaque sorte étant disponible en stock en quantité suffisante. Nous aimerions en acheter 10. De combien de manières différentes pouvons-nous faire ceci? (Les animaux ne peuvent être différenciés que selon leurs sortes.)
  (A) 720
  (B) 2406
  (C) 3003
  (D) 5005
  (E) 1000000

Niveau 4

1. exercice. Calculer la somme des carrés des racines de l’équation (x+2)(x-1)(x-3)=2.
  (A) 14
  (B) 16
  (C) 18
  (D) 19
  (E) 21

2. exercice. Calculer la valeur de l’expression suivante:

$\tan \frac{\pi}{8} + \cot \frac{\pi}{8} + \tan \frac{\pi}{16} - \cot \frac{\pi}{16} + \tan \frac{\pi}{24} + \cot \frac{\pi}{24}.$

  (A) $\sqrt{2} (\sqrt{3}+2)$
  (B) $4\sqrt{2+\sqrt{3}} - 2$
  (C) $2\sqrt{6}+1$
  (D) $\frac{4(3+\sqrt{2})}{3}$
  (E) $4 + \sqrt{3}$

3. exercice. Parmi trois travailleurs, le premier peut effectuer une tâche en mettant p jours de plus que le deuxième et q jours de plus que le troisème. Les deux premiers ouvriers terminent le travail ensemble en mettant juste autant de temps que le troisième seul. De combien de temps le travailleur le plus rapide aurait-il besoin pour effectuer ce travail?
  (A) $\sqrt{q^2-p^2}$
  (B) $\sqrt{pq-p^2}$
  (C) $\sqrt{2q^2-p^2}$
  (D) $\sqrt{2p^2-pq}$
  (E) $\sqrt{q^2-pq}$

4. exercice. Soit T l’aire d’un triangle. On divise ses côtés, dans l’ordre, en m>2, n>2, p>2 parts égales. En reliant les premiers et derniers points de division des côtés consécutifs, on obtient un hexagone convexe. Donner l’aire de cet hexagone.
  (A) $T \cdot \left( 1- \frac{mn+mp+np}{mnp} \right)$
  (B) $T \cdot \left( \frac12 + \frac{mnp}{2(m+n+p)} \right)$
  (C) $T \cdot \left( 1- \frac{m+n+p}{mnp} \right)$
  (D) $T \cdot \left( \frac{mn+mp+np}{3mnp} - \frac12 \right)$
  (E) $T \cdot \left( 1- \frac{mn+mp+np}{2} \right)$

5. exercice. On pose au hasard une reine blanche et une reine noire sur l’échiquier. Quelle est la probabilité qu’en exécutant 3 expériences, au moins une fois aucune des deux reines n’attaque l’autre?
  (A) $1- \left(\frac38\right)^3$
  (B) $1- \left(\frac{17}{24}\right)^3$
  (C) $\left(\frac{27}{32}\right)^3$
  (D) $1- \left(\frac{13}{36}\right)^3$
  (E) $1- \left(\frac{5}{18}\right)^3$