P. 3542. Comment faire une estimation pour la masse d’un tube à essai donné, ayant à notre disposition le récipient avec un tuyau d’écoulement illustré par la figure  ci-dessous ainsi que de l’eau et une éprouvette graduée pour mesurer le volume de l’eau en ml.

(3 points)

concours d’estimation, Sárospatak

Solution. Remplir complètement d’eau le récipient à écoulement, poser ensuite le tube à essai dans ce récipient et mesurer le volume de l’eau écoulée. La masse du tube à essai fait autant de grammes qu’il y a de millilitres dans le volume de l’eau écoulée.

P. 3543. Line, un mannequin de 176 cm de haut se regarde dans la glace suspendue au mur. La glace est verticale, sa hauteur est de 75 cm. Line se tient debout, droite et ses yeux se trouvent à 168 cm du sol. Peut-elle voir ses propres yeux, sachant qu’elle voit juste la pointe de ses chaussures ?

(3 points)

concours Imre Tarján, Szolnok

Solution. Si Line voit juste la pointe de ses chaussures, alors le bas de la glace se trouve juste à la moitié de la hauteur des yeux de Line, c’est à dire à 84 cm du sol. Le haut de la glace se trouve donc à 159 cm au-dessus du sol, Line ne peut donc pas voir ses propres yeux dans la glace.

P. 3544. L’air a été évacué du récipient illustré par la figure. Dans la sphère supérieure il y a de l’eau. Si la sphère inférieure est refroidie à l’aide de nitrogène liquide, alors l’eau de la sphère supérieure gèle après un certain temps. Comment expliquer ce phénomène ? Est-il possible que l’eau gèle pendant qu’elle boue ?

(4 points)

concours Imre Bródy, Ajka

Solution. Dans le récipient du bas, à cause de la température basse, la vapeur d’eau se transforme par condensation en eau qui gèle ensuite, c’est pourquoi l’eau du récipient du haut s’évapore continuellement ( boue aussi ), et se refroidit. La chaleur d’évaporation de l’eau entre 100 et 0 ^oC varie entre 2256 et 2500 kJ/kg, sa chaleur massique est de 4,18 kJ/(kg^oC), par conséquent l’évaporation d’environs 0,2% de la quantité actuelle diminue la température du reste de 1^oC. Donc, si le récipient supérieur est bien isolé, l’eau qu’il contient se refroidira au bout d’un certain temps à 0^oC. La chaleur de congélation de l’eau est de 333,7 kJ/kg, ainsi l’évaporation d’environs 12 % de la quantité actuelle de l’eau à 0^oC enlève la quantité de chaleur correspondant à la chaleur de congélation de la quantité restante, c’est à dire, en cas d’une bonne isolation thermique, l’eau du récipient supérieur gèle - pendant qu'elle boue.

P. 3545. Deux aquariums en verre, remplis d’eau, de même forme sphérique, de même taille sont posés sur une table serrés l’un contre l’autre. Un petit poisson nage au point central de chaque aquarium. A quelle distance et en quelle taille les petits poissons se voient-ils ? Le coefficient de réfraction de l’eau est 1,33.

(5 points )

concours András Holló, Jászberény

Solution. Soient R  le rayon des deux sphères et n  le coefficient de réfraction de l’eau.  Les deux aquariums avec l’aire entre eux sont comme si nous avions plongé dans l’eau une lentille concave de rayon R  sur ses deux côtés et remplie d’air. La distance focale de cette lentille ( convergente ! ) :

ainsi les poissons situés à une distance de (1/2)f  de la lentille, en regardant à travers la lentille, leur image apparaît à une distance f  de la lentille. Les images des poissons sont virtuelles, droites, la taille des images est le double de celle des poissons mais comme elles se créent à une distance 3/2 fois plus grande que la distance réelle de chaque poisson au centre de la lentille, l’agrandissement de l’angle – combien de fois les poissons se voient plus grands – n’est que de 4/3.

P. 3546. Une navette spaciale de 1000 kg avec à son bord un astronaute de 100 kg flotte dans l’espace à 20 m de distance d’un satellite de 100 kg. Pour réparer une antenne sur le satellite, l’astronaute décolle de la navette avec une vitesse de 1,1 m/s par rapport à cette dernière. Il exécute la tache en 130 secondes, ensuite il souhaite retourner à sa navette en 100 secondes. A quelle vitesse doit-il décoller par rapport au satellite pour réussir ?

(4 points)

concours József Öveges, Tata

Solution. Nous allons décrire le mouvement dans le système orthogonal dans lequel la navette était immobile au départ, et nous allons mesurer le temps à partir du moment du décollage. Après son décollage, la vitesse de l’astronaute sera 1/10ème de celle de la navette ( à cause du rapport de masses et de la loi de la conservation d’impulsion ), donc la vitesse de l’astronaute sera de 1 m/s, celle de la navette de -0,1 m/s.

L’astronaute atteint le satellite au bout de 20 secondes, il doit se relier à celui-ci pour le temps de la réparation, donc sa vitesse diminue ( à cause de la loi de la conservation d’impulsion ) à 0,5 m/s. Il fait 65 m en 130 secondes et sera donc à 85 m de son point de départ.

S’il veut retourner à la navette en 100 secondes alors il va la joindre à la 250ème seconde, à 25 m du point de départ. L’astronaute doit donc parcourir en 100 secondes 85+25=110 mètres et pour ce faire sa vitesse doit être de 1,1 m/s. La vitesse de l’astronaute a changé après le deuxième décollage de 1,1- ( - 0,5 ) = 1,6 m/s, (celle du satellite a changé d’autant car ils ont la même masse), sa vitesse par rapport au satellite doit être donc de 3,2 m/s.

P. 3547. Les satellites géostationnaires sont mis en orbite de la manière suivante : le satellite tourne au départ sur une orbite de parking proche de la Terre, ses réacteurs sont ensuite mis en fonction pour une courte durée pour le placer sur une orbite elliptique dont le périgée se trouve sur l’orbite de parking et l’apogée sur l’orbite géostationnaire. En atteignant celle-ci, les réacteurs seront de nouveau mis en fonction et le satellite mis en orbite circulaire.

Supposons que l’orbite de parking est une orbite circulaire située à 200 km de la surface de la Terre. En combien de temps le satellite arrivera-t-il de celle-ci à la hauteur de l’orbite géostationnaire ?

(5 points )

concours Győző Zemplén, Nagykanizsa

Solution. Soit r  le rayon de l’orbite de parking et R  celui de l’orbite géostationnaire. Alors, selon la 3ème loi de Kepler, le temps T de révolution de l’orbite elliptique de transition est :

où T₀ est le temps de révolution de l’orbite géostationnaire, c’est à dire exactement 1 jour. Le rayon équatorial de la Terre est de 6380 km, la hauteur de l’orbite géostationnaire au-dessus de l’Equateur est de 35 680 km, ainsi r =6580 km et R =42 060 km. D’où T =0,44 jour, donc le temps nécessaire pour le changement d’orbite est de 0,22 jour = 5,3 heures.

P. 3548. Dans le circuit électrique de la figure  ci-dessous nous avons deux résistances R₁=300   et R₂=700 . La tension fournie par la batterie est U₀=50 V, sa résistance interne est négligeable. La capacité du condensateur est C = 50 F. En connectant un voltmètre entre les points A  et B, nous constatons que la tension indiquée est U₁=14,5 V.

a) Quelle est la résistance du voltmètre ? Combien d’électrons quittent l’armature négative du condensateur pendant la durée de la mesure de tension ?

b) Quelle tension le voltmètre indique-t-il si nous le connectons entre les points B  et D  ? Quelle est l’erreur absolue et relative de cette mesure ?

c) Donner la résistance minimale d’un voltmètre pour que l’erreur relative de la mesure entre les points B  et D  soit 1%.

(5 points )

d’après un exercice de Miklós Vermes

Solution. En mesurant la tension avec un voltmètre idéal, sur une résistance 300  nous pourrions lire 15 V, sur une résistance de 700   35 V. A partir de ces chiffres, certains ont deviné que le texte de l’énoncé était erroné : correctement R₂=300  et R₁=700 . Les résultats ci-dessous sont valables pour ces dernières données (mais une solution correctement calculée avec les données erronées pouvait aussi obtenir le nombre de points maximal).

a) R_i = 6,1 k, et n =1,6^.10¹⁴ électrons quittent l’armature négative du condensateur pendant la mesure. (Avec les données erronées R_i = 0,15 k, et n = 6,4^.10¹⁵.)

b) La valeur mesurée de U_DB  est de 33,8 V, l’erreur absolue est 1,2 V, ce qui représente 3,4% de 35 V. (Avec les données erronées la valeur mesurée de U_DB  est de 6,2 V, l’erreur absolue est 8,8 V, ce qui fait environs 60% de 15 V. Une telle modification de la quantité mesurée ne peut être considérée comme ,,mesure physique'', mais plutôt comme ,,blocage''.)

c) . (Il est intéressant qu’en calculant avec les données erronées, nous obtenons le même résultat.)

P. 3549. Nous éclairons une grille optique par un faisceau de lumière de longueur d’onde 589 nm. Sur l’écran situé à 3 mètres de la grille, nous voyons le maximum de déviation d’ordre zéro et d’ordre 1 à 20 cm l’un de l’autre.

a) Combien y a-t-il de traits par centimètre sur la grille ?

b) A quelle distance se trouve le maximum de déviation d’ordre 2 par rapport au maximum de déviation d’ordre 1 ?

(4 points )

concours Ányos Jedlik, Győr

Solution. a) n =1130 traits/cm,

b) 20,2 cm.

P. 3550. Dans une navette spaciale sur orbite autour de la Terre flotte un crayon laser de masse 50 g. Il se met brusquement en fonction et émet pendant une heure de la lumière de longueur d’onde 500 nm avec une puissance 3 mW.

a) Combien de photons le laser émet-il pendant cette période de temps ?

b) Estimer la vitesse finale et la distance parcourue pendant ce temps par le crayon laser à l’intérieur de la navette.

(5 points )

concours Jenő Wigner, Békéscsaba

Solution. a) 2,7^.10¹⁹  photons.

b) la vitesse finale du crayon laser est v =7,2^.10^-7 m/s, et son déplacement en une heure : s =1,3 mm.