K. 20. A la gare de Tataouine-les-Oies, on décore chaque année un sapin de Noël. Le chef de gare a sept ampoules de couleurs différentes pouvant être allumées et éteintes indépendamment les unes des autres ; mais, son sens esthétique ne permet pas que l'ampoule rose et l'ampoule violette soient allumées en même temps. Le chef de gare pose quelques ampoules sur le sapin le 7 décembre. De combien de manières différentes peut-il les sélectionner s'il veut que, jusqu'au 6 janvier, les ampoules posées sur l'arbre éclairent chaque jour dans une combinaison différente, selon la condition donnée ?

Solution. Il y a 31 jours entre le 7 décembre et le 6 janvier, y compris ces deux dernières dates. Il faudra donc sélectionner les ampoules de telle façon qu’elles puissent éclairer en 31 combinaisons au moins. Chaque ampoule ou elle est allumée ou elle est éteinte, donc pour une ampoule il y a deux possibilités, pour deux 2.2, en cas de trois ampoules 2.2.2, etc. Nous devons donc choisir au moins cinq ampoules parmi les sept pour que les conditions soient satisfaites. En choisissant cinq ampoules, nous avons trois possibilités : nous avons mis de côté ou la rose ou la violette ou les deux. En laissant de côté les deux, nous obtenons 1 possibilité; si nous laissons de côté la rose mais pas la violette, alors l’autre ampoule mise de côté peut être de 5 sortes, ceci donne 5 possibilités pour le choix des ampoules; de même nous pouvons avoir 5 combinaisons en mettant de côté la violette mais pas la rose. Ceci donne au total 11 possibilités. Si nous choisissons 6 ampoules, alors nous avons deux possibilités: nous mettons de côté une fois la violette, une fois la rose. Toutes les sept ne peuvent pas être présentes sur l’arbre en même temps. Donc, au total nous pouvons sélectionner les ampoules de 13 manières différentes selon les conditions de l’énoncé.

K. 22. Un parallélépipède rectangle à base carrée a une face de 49 cm² et une face de 84 cm². Donner son volume.

Solution. Un parallélépipède rectangle à base carrée est délimité par deux types de rectangle. Par conséquent, nous devons distinguer deux cas : A) sa base – qui est un carré – a une aire de 49 cm². Dans ce cas, la longueur d’un côté de la base est de 7 cm. Nous pouvons calculer le volume comme le produit de l’aire d’une face et de la hauteur correspondante (c’est à dire le côté de la base) : 84^.7 = 588 cm³. B) sa base – qui est un carré – a une aire de 84 cm². Dans ce cas, la longueur d’un côté de la base est de cm. Nous pouvons calculer le volume comme le produit de l’aire d’une face et de la hauteur correspondante (c’est à dire le côté de la base) : cm³.

K. 23. Le tableau ci-dessous indique la feuille de décembre du calendrier de cette année ( 2004 ).

Dans ce tableau, la somme des nombres contenus dans un carré 3x3 est égale à 160. Quel est le plus petit de ces nombres ?

Solution. En observant un groupe de carrés de 3x 3 complètement rempli par des nombres, nous voyons le schéma suivant :

La somme de ces nombres est 9a, c’est à dire 9 fois le nombre de milieu. Mais 160 n’est pas divisible par 9 donc seuls les groupes de carrés pas complètement remplis peuvent correspondre aux conditions. Les groupes contenant les noms des jours ne peuvent pas convenir car la somme des autres nombres est inférieure à 100. Il y a quatre groupes de carrés 3x 3 pas complètement remplis de nombres et ne contenant pas les noms des jours (deux démarrent à la première ligne de nombres, les deux autres se terminent dans la dernière ligne), et ont pour totaux 64, 72, 184 et 160. Ce dernier est la somme recherchée. Nous obtenons ce total à partir du groupe de carrés dont le carré supérieur gauche contient 17, le nombre recherché est donc le 17.

K. 24. Deux réservoirs cylindriques ont la même hauteur. Le diamètre de l’un est de 4 m et est rempli d’eau à hauteur de 12,5 m. Le diamètre de l’autre est de 3 m et il est vide. Une pompe à eau de capacité 10 m³/min transfère l’eau de l’un à l’autre. Dans combien de minutes seront-ils remplis à même hauteur ?

Solution. Considérons la situation où le niveau de l ‘eau est le même dans les deux réservoirs, notons alors la hauteur de l’eau par  x  mètres. La hauteur de l’eau transférée à partir du premier réservoir est 12,5 – x  mètres, donc 2^2..(12,5-x)=1,5^2..x. D’où x = 8 m. Le volume d’eau transféré est d’environs 56,6 m³, le temps nécessaire pour le transfert est de 5,66 minutes ou encore 5 minutes 40 secondes.