Exercices de mathématiques proposés en club

octobre 2005.

C. 770. Les élèves d'une classe de 35 peuvent être classés dans deux groupes : les perches et les grosses-têtes. Les perches affirment d'être plus grandes que les grosses-têtes, ces dernières se prennent en revanche pour meilleures en maths. L'une d'elles a demandé un jour à une perche : " Qu'est-ce que cela veut dire au juste quand vous dites que vous êtes plus grandes que nous ? Peut-être que

1. Chaque perche est-elle plus grande que toutes les grosses-têtes ?

2. La plus grande perche est-elle plus grande que la plus grande grosse-tête ?

3. Chaque perche est-elle plus grande qu'une des grosses-têtes ?

4. Chaque grosse-tête est plus petite qu'une des perches ?

5. La plus plus petite des grosses-têtes est-elle plus petite que la plus petite des perches ? "

En entendant ces questions, la perche s'est sensiblement aplatie… mais la question est de définir les relations entre ces différentes affirmations, c'est-à-dire, dans le cas de n'importe quelle paire, on doit décider si l'une découle de l'autre.

(d'après l'idée de Hugo Steinhaus)

C. 771. La ville de Maths et la ville de Physique se trouvent dans deux fuseaux horaires différents. Un avion décolle de la ville de Physique à 8 heures du matin heure locale, et arrive le même jour en ville de Maths à midi, heure locale. Deux heures après, l'avion repart et arrive à 8 heures du soir heure locale à la ville de Physique. La durée du voyage était la même dans les deux sens. Quelle heure est-il en ville de Physique quand il est midi en ville de Maths ?

C. 772. Un jour, en cours de maths, un élève a commis une erreur en développant l'expression (a+2b-3)² et son résultat était a²+4b²-9. A la demande de son professeur, en guise de contrôle, il a remplacé a et b, chacun par un nombre entier positif. Après les remplacements, son résultat paraissait juste. Par quels nombres a-t-il pu remplacer a et b ?