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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

janvier 2012.

prière de lire le règlement du concours

Les exercices C

Date limite d'envoi : 10 février 2012

C. 1100. Compléter le tableau en écrivant des nombres dans les cases de façon à obtenir dans chaque ligne et dans chaque colonne les éléments consécutifs d’une suite géométrique.

		12
144
			81
	288

(5 points)

C. 1101. Dans un magasin de jeux, nous avons acheté des cubes emballés dans des paquets de neuf. Pour construire un grand cube compact (ne comportant pas de creux), nous avons dû ouvrir tous les paquets. Combien de petits cubes nous reste-t-il à la fin de cette construction?

(5 points)

C. 1102. Dans le triangle ABC à angles aigus, soit D le pied de la hauteur issue de C. Construire une droite parallèle à AB telle que le segment de celle-ci se trouvant à l’intérieur du triangle se voie sous un angle droit à partir de D.

proposé par : Gábor Holló (Budapest)

(5 pont)

C. 1103. Au club de maths, Camille a calculé le produit de deux nombres strictement positifs. Elle a trouvé intéressant qu’en additionnant ces deux nombres, elle obtenait le même résultat. Elle a déjà oublié les nombres mais elle se souvient que chacun d’eux comportait un seul chiffre après la virgule. Retrouver ces deux nombres.

(5 points)

C. 1104. Chaque angle d’un hexagone mesure 120^o, les longueurs de ces côtés sont en alternance de $\sqrt{3-\sqrt 3}$ et de $\sqrt{9-3\sqrt 3}$ . Montrer que la mesure de son aire est un nombre entier.

(5 points)

Les exercices B

Attention ! Les exercices B ci-dessous sont affichés à titre d'exemple. Pour participer au concours de ce niveau, visitez la page suivante(en anglais) ou celle-ci(en hongrois).

En français, des exercices comparables au niveau B existent dans les séries QCM (4 niveaux CM2-Tle). Voire aussi les problèmes C ci-dessous.

B. 4362. Nous avons découpé tous les sommets d’un cube massif de façon à obtenir un objet délimité par 8 faces triangulaires et 6 faces heptagonales. Combien de sommets et combien d’arêtes un tel polyèdre peut-il avoir?

(3 points)

B. 4363. Nous avons écrit sur un tableau les inverses des nombres naturels de 2 à 2011. En un pas, nous effaçons deux nombres, x et y et nous écrivons à leur place le nombre

$\frac{xy}{xy + (1-x)(1-y)}$ .

En répétant ceci 2009 fois, il ne reste plus qu’un nombre. Quel peut être ce nombre?

proposé par: Béla Kovács (Szatmárnémeti)

(4 points)

B. 4364. Nous savons que a $\ge$ b $\ge$ c>0. Montrer alors que

$\frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\ge 3a-4b+c.$

proposé par: József Mészáros (Jóka)

(4 points)

B. 4365. Trouver tous les nombres entiers strictement positifs n tels que 2ⁿ-1 et 2ⁿ⁺²-1 soient des nombres premiers et que 2ⁿ⁺¹-1 ne soit pas divisible par 7.

proposé par: Sándor Kiss (Budapest)

(3 points)

B. 4366. Soit M l’orthocentre du triangle ABC à angles aigus; soient A₁, B₁, C₁les centres des cercles circonscrits des triangles BCM, CAM, ABM, respectivement. Démontrer que les droites AA₁, BB₁ et CC₁ sont concourantes.

(4 points)

B. 4367. Résoudre l’équation suivante:

$\frac{3x+3}{\sqrt{x}}=4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}.$

proposé par: József Mészáros (Jóka)

(4 points)

B. 4368. Sur les côtés AB, BC, CA du triangle ABC, marquer respectivement les points D, E et F tels que AD:DB=BE:EC=CF:FA $\ne$ 1. Les droites AE, BF, CD se coupent aux points G, H, I. Démontrer que les triangles ABC et GHI ont le même centre de gravité.

proposé par: Szilárd Miklós (Herceghalom)

(3 points)

B. 4369. Chacun des cercles k₁, k₂ et k₃ passe par le points P; de plus, les cercles k_i et k_j passent aussi par le point M_i_,j. Soit A un point quelconque du cercle k₁. Soit k₄ un cercle quelconque passant par A et par M_1,2, k₅ un cercle quelconque passant par A et par M_1,3. Montrer que si les deuxièmes points d’intersection de k₄ avec k₂, de k₅ avec k₃, ou encore de k₄ avec k₅ sont respectivement B, C et D, alors les points M_2,3, B, C, D se trouvent sur un cercle ou sur une droite.

(4 points)

B. 4370. Soient a, b, c les longueurs des côtés d’un triangle, u, v, w les distances des sommets opposés à ces côtés par rapport au centre du cercle inscrit. Montrer alors que

$(a+b+c) \left(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}\right)\le 3\left(\frac{a}{u}+\frac{b}{v}+\frac{c}{w}\right).$

proposé par: József Mészáros (Jóka)

(5 points)

B. 4371. Démontrer que

$\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{14}}} + \frac{1}{\sin^2{\frac{3\pi}{14}}} + \frac{1}{\sin^2{\frac{5\pi}{14}}} = 24.$

proposé par: Béla Kovács (Szatmárnémeti)

(5 points)

Les exercices K

Attention ! Les exercices K ci-dessous sont affichés à titre d'exemple. Pour participer au concours de ce niveau, visitez la page suivante(en anglais) ou celle-ci(en hongrois).

En français, des exercices comparables au niveau K existent dans les séries QCM (4 niveaux CM2-Tle).

K. 247. Dans les trois premières années de sa vie, la Belle au bois dormant dormait en moyenne 14 heures par jour, ensuite jusqu’à l’âge de 16 ans 8 heures par jour, puis à partir du jour de son 16. anniversaire, quand elle s’est fait piquer le doigt avec le fuseau, pendant 100 ans 24 heures par jour. Un muscardin hiberne pendant 5 mois (du 1^er novembre au 31 mars), le reste de l’année, il est réveillé 8 heures par jour en moyenne (la nuit). Après combien d’années de sommeil le prince charmant aurait dû réveiller la Belle au bois dormant pour que sa durée moyenne journalière de sommeil, en comptant de sa naissance jusqu’au moment du réveil, soit la même que celle d’un muscardin? (En effectuant les calculs, pour simplifier, on peut négliger les années bissextiles, c’est à dire qu'on peut prendre le mois de février toujours avec 28 jours.)

(6 points)

K. 248. La figure présente le patron d’un cube. Peindre deux carrés en rouge, les quatre autres en blanc, en vert, en jaune et en bleu de telle manière que le cube plié à partir de ce patron ne possède pas deux faces voisines de même couleur.

De combien de manières différentes peut-on colorier la figure selon ces conditions?

(6 points)

K. 249. On jette dans une tirelire des pièces de monnaie de valeurs nominales 5, 10, 20, 50, 100 et 200. La somme qu’elle contient en ce moment est 18 200. Avant d’y jeter la dernière pièce, le nombre des pièces de valeurs nominales différentes était inversement proportionnel à leurs valeurs nominales. Combien y a-t-il de pièces de 200 actuellement dans la tirelire?

(6 points)

K. 250. Deux personnes ont estimé le nombre de spectateurs à un concert en plein air. Selon la première il y avait 2700 personnes, selon l’autre 3600. On a appris par la suite que, par rapport à la réalité, l’une des estimations était erronée de deux fois plus de pour cent que l’autre, mais l’une a été sous-estimée, l’autre surestimée. Combien de personnes ont-elles participé au concert?

(6 points)

K. 251. Prolonger les deux diagonales d’un carré de côté $\sqrt 2 -1$ , dans un sens, de la longueur de son côté.

a) Donner la longueur du segment reliant les extrémités nouvelles des prolongements.

b) Montrer que le carré possède un sommet qui détermine un triangle isocèle avec les extrémités nouvelles des prolongements.

(6 points)

K. 252. Multiplier la somme de six nombres entiers consécutifs par la somme des six nombres entiers consécutifs suivants. Montrer que la division de ce produit par 36 donne toujours le même reste.

(6 points)

Exercices A

Attention ! Les exercices A ci-dessous sont affichés à titre d'exemple. Pour participer au concours de ce niveau, visitez la page suivante(en anglais) ou celle-ci(en hongrois).

En français, voir les exercices B et C ci-dessus ainsi que les séries QCM (4 niveaux CM2-Tle).

A. 503. Soient donnés dans un espace de dimension 3 les vecteurs u₁,u₂,...,u_n et v tels que |u₁| $\ge$ 1, ..., |u_n| $\ge$ 1 ; |v| $\le$ 1 et u₁+...+u_n=0. Montrer alors que

|u₁-v|+ ….+|u_n-v| $\ge$ n.

(5 points)

A. 504. Démontrer que pour des entiers quelconques 0<r<k<t, il existe un entier strictement positif N(r,k,t) ayant la propriété suivante: si l’hypergraphe G r-uniforme possède au moins N(r,k,t) points et s’il existe au moins une arête entre ses k points quelconques, alors G contient un sous-hypergraphe complet à t points. (Un hypergraphe est un graphe dans lequel les arêtes relient un nombre de points quelconques et non seulement deux. Un hypergraphe est r-uniforme si exactement r points appartiennent à chacune de ses arêtes. Un hypergraphe r-uniforme est complet si pour r points quelconques il existe une arête qui les relie.)

(5 points)

A. 505. Dans le quadrilatère ABCD inscriptible dans un cercle, O₁ et O₂ sont les centres des cercles inscrits des triangles ABC et ABD. La droite O₁O₂ coupe la droite BC en E et la droite AD en F.