B. 4282. Un bassin peut être rempli en utilisant quatre robinets différents. En ouvrant en même temps le premier et le deuxième robinets, le bassin se remplit en 2 heures. Si on ouvre en même temps le deuxième et le troisième robinets, le bassin se remplit en 3 heures et on aura besoin de 4 heures pour remplir le bassin en utilisant le troisième et le quatrième robinets. En combien de temps le bassin se remplira-t-il si l’on laisse couler l’eau en même temps par le quatrième et le premier robinets?

(3 points)

B. 4283. Découper un carré de 23×23 en carrés de 1×1, 2×2 et 3×3. Quel est le nombre minimum de carrés 1×1 de ce découpage?

(5 points)

B. 4284. Montrer qu’un trapèze ayant un cercle inscriptible possède une diagonale formant avec les bases du trapèze un angle de 45^o au plus.

(4 points)

B. 4285. Les termes d’une suite sont des nombres entiers strictement positifs, ses deux premiers termes sont 1 et 2. La somme de deux termes différents quelconques de la suite n’est pas un terme de cette suite. Montrer que pour un nombre naturel k quelconque le nombre des termes inférieurs à k  est inférieur ou égal à

(3 points)

B. 4286. Les deux côtés formant l’angle droit d’un triangle isocèle rectangle sont de 36 unités chacun. Sur un de ces côtés, on dessine, en partant du sommet d’angle droit, une suite infinie de triangles équilatéraux juxtaposés, de telle façon que le troisième sommet des triangles se trouve toujours sur l’hypothénuse et que les côtés opposés à ces sommets remplissent ce côté. Déterminer la somme des aires des triangles équilatéraux.

(d’après un exercice de Kavics Kupa)

(4 points)

B. 4287. Soient O₁, O₂ et O₃  les centres des cercles exinscrits du triangle ABC. Tracer les droites perpendiculaires aux bissectrices du triangle, passant par un point intérieur P   du triangle, différent du centre de son cercle inscrit. Soient M₁, M₂ et M₃  les points d’intersections de ces droites avec les bissectrices. Montrer que les triangles O₁O₂O₃ et M₁M₂M₃ sont semblables.

(5 points)

B. 4288. Soient A  et  B  deux sommets opposés d’un cube d’arête unitaire. Déterminer le rayon de la sphère tangente aux faces du cube passant par A  et tangente aux arêtes passant par B.

(3 points)

B. 4289. Soient A₁A₃=e  et A₂A₄=f  les diagonales du trapèze A₁A₂A₃A₄. Soit r_i  le rayon du cercle circonscrit du triangle A_jA_kA_l, où {1,2,3,4}={i,j,k,l}. Montrer que

(4 points)

B. 4290. Soient a et b des nombres entiers strictement positifs. Soit p(x) un polynôme à coefficients entiers ayant des valeurs divisibles par a  en au moins un x entier et divisible par b en au moins un x entier. Montrer qu’il existe un nombre entier x  tel que p(x)  soit divisible par le plus petit multiple commun de a  et de b.

(5 points)

B. 4291. Montrer que pour les nombres strictement positifs a, b, c  quelconques:

a^bb^cc^aa^ab^bc^c.

(4 points)

K. 247. Dans les trois premières années de sa vie, la Belle au bois dormant dormait en moyenne 14 heures par jour, ensuite jusqu’à l’âge de 16 ans 8 heures par jour, puis à partir du jour de son 16. anniversaire, quand elle s’est fait piquer le doigt avec le fuseau, pendant 100 ans 24 heures par jour. Un muscardin hiberne pendant 5 mois (du 1^er novembre au 31 mars), le reste de l’année, il est réveillé 8 heures par jour en moyenne (la nuit). Après combien d’années de sommeil le prince charmant aurait dû réveiller la Belle au bois dormant pour que sa durée moyenne journalière de sommeil, en comptant de sa naissance jusqu’au moment du réveil, soit la même que celle d’un muscardin? (En effectuant les calculs, pour simplifier, on peut négliger les années bissextiles, c’est à dire qu'on peut prendre le mois de février toujours avec 28 jours.)

(6 points)

K. 248. La  figure  présente le patron d’un cube. Peindre deux carrés en rouge, les quatre autres en blanc, en vert, en jaune et en bleu de telle manière que le cube plié à partir de ce patron ne possède pas deux faces voisines de même couleur.

De combien de manières différentes peut-on colorier la figure selon ces conditions?

(6 points)

K. 249. On jette dans une tirelire des pièces de monnaie de valeurs nominales 5, 10, 20, 50, 100 et 200. La somme qu’elle contient en ce moment est 18 200. Avant d’y jeter la dernière pièce, le nombre des pièces de valeurs nominales différentes était inversement proportionnel à leurs valeurs nominales. Combien y a-t-il de pièces de 200 actuellement dans la tirelire?

(6 points)

K. 250. Deux personnes ont estimé le nombre de spectateurs à un concert en plein air. Selon la première il y avait 2700 personnes, selon l’autre 3600. On a appris par la suite que, par rapport à la réalité, l’une des estimations était erronée de deux fois plus de pour cent que l’autre, mais l’une a été sous-estimée, l’autre surestimée. Combien de personnes ont-elles participé au concert?

(6 points)

K. 251. Prolonger les deux diagonales d’un carré de côté  , dans un sens, de la longueur de son côté.

a) Donner la longueur du segment reliant les extrémités nouvelles des prolongements.

b) Montrer que le carré possède un sommet qui détermine un triangle isocèle avec les extrémités nouvelles des prolongements.

(6 points)

K. 252. Multiplier la somme de six nombres entiers consécutifs par la somme des six nombres entiers consécutifs suivants. Montrer que la division de ce produit par 36 donne toujours le même reste.

(6 points)

A. 503. Soient donnés dans un espace de dimension 3 les vecteurs u₁,u₂,...,u_n  et v  tels que  |u₁|1, ..., |u_n|1 ; |v|1 et u₁+...+u_n=0. Montrer alors que

|u₁-v|+ ….+|u_n-v|n.

(5 points)

A. 504. Démontrer que pour des entiers quelconques 0<r<k<t, il existe un entier strictement positif N(r,k,t) ayant la propriété suivante: si l’hypergraphe G r-uniforme possède au moins N(r,k,t) points et s’il existe au moins une arête entre ses k  points quelconques, alors G  contient un sous-hypergraphe complet à t  points. (Un hypergraphe  est un graphe dans lequel les arêtes relient un nombre de points quelconques et non seulement deux. Un hypergraphe est r-uniforme  si exactement r  points appartiennent à chacune de ses arêtes. Un hypergraphe r-uniforme est complet  si pour r  points quelconques il existe une arête qui les relie.)

(5 points)

A. 505. Dans le quadrilatère ABCD  inscriptible dans un cercle, O₁  et  O₂  sont les centres des cercles inscrits des triangles ABC  et  ABD. La droite O₁O₂  coupe la droite BC  en E  et la droite AD  en F.

(a) Montrer qu’il existe un cercle c  tangent aux droites BC  et AD  en E  et en F.

(b) Montrer que c  est tangent aussi le cercle circonscrit au quadrilatère ABCD.

Proposé par: János Nagy (Budapest)

(5 points)