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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

juin 2010.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 20 juillet 2010

A. 509. Montrer qu’il existe un nombre réel c >0 pour lequel la propriété suivante soit vraie: parmi les nombres entiers strictement positifs $a_1,a_2,\ldots,a_n$ (n $\ge$ 3) tous différents, il existe trois dont le PPCM est au moins égal à c x n^2,99.

(5 points)

A. 510. Soient donné un nombre entier strictement positif n ainsi que quelques droites dans le plan de telle façon qu’aucune des droites ne passe par le point de coordonnées (0,0) mais au moins a+b+1 droites passent par chaque point de coordonnées (a,b), où 0 $\le$ a,b $\le$ n sont des entiers et a+b>0. Montrer alors que le nombre de droites est au moins égal à n(n+3).

(5 points)

A. 511. Montrer que, pour des nombres entiers strictement positifs n, k quelconques, il existe un polynôme p(x) de degré $100\sqrt{nk}$ au plus pour lequel

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 20 juillet 2010

B. 4272. Les termes de la suite (a_n) sont des nombres entiers strictement positifs et pour tout n $\ge$ 1 a_n₊₁=a_n²+5a_n+1. Est-il possible que chaque terme de la suite soit un nombre composé?

(5 points)

B. 4273. Soient donné dans le plan six cercles ayant un point intérieur commun. Montrer qu’il existe un cercle parmi ces six qui contienne dans sa zone intérieure le centre d’un autre des cercles donnés.

(4 points)

B. 4274. Les côtés d’un parallélogramme d’aire unitaire sont de longueur a et b, où a<b<2a. Donner l’aire du quadrilatère déterminé par les bissectrices internes du parallélogramme.

(3 points)

B. 4275. Résoudre l’équation suivante:

$x^{6}-x^{3}-2x^{2}-1=2(x-x^{3}+1)\sqrt{x}\,.$

Proposé par: Ferenc Pintér (Nagykanizsa), József Szoldatics (Budapest)

(4 points)

B. 4276. Montrer que la mesure d’une hauteur quelconque d’un triangle est inférieure ou égale à la moyenne géométrique des rayons des cercles exinscrits aux deux côtés issus du même sommet que la hauteur.

(4 points)

B. 4277. Résoudre l’équation x³+y³+1=x²y² dans l’ensemble des nombres entiers.

Proposé par: László Surányi (Budapest)

(5 points)

B. 4278. Résoudre le système d’équations

$\mathop{\rm tg} x\cdot \mathop{\rm tg} y =b$

où a et b sont des paramètres réels.

(3 points)

B. 4279. Est-il vrai que si la somme des distances d’un point intérieur d’un tétraèdre par rapport aux faces est constante, alors c’est un tétraèdre régulier?

(4 points)

B. 4280. Soit M le milieu de l’arc AB contenant C sur le cercle c circonscrit au triangle ABC. Soit J le centre du cercle exinscrit au côté AB. La droite passant par J et perpendiculaire à la bissectrice CJ coupe la droite AC en D, la droite BC en E. Soit F l’autre point d’intersection de la droite MJ avec le cercle c. Montrer que le cercle passant par les points D, E, F est tangent aux droites AC, BC ainsi qu’au cercle c.

(5 points)

B. 4281. Quelqu’un a pensé à n nombres entiers pas forcément différents et a écrit sur une feuille toutes les sommes (au nombre de 2ⁿ-1) pouvant être obtenues à partir de ces nombres parmi lesquelles le 0 n’est pas intervenu comme somme. Est-il possible de déterminer les nombres d’origine à partir de ces informations?

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 20 juillet 2010

C. 1035. A un concours de maths, il y avait trois problèmes à résoudre. 56 concurrents ont résolu au moins un problème. Il y avait 2 concurrents qui ont résolu les trois problèmes. Parmi ceux qui ont résolu le troisième exercice, il y avait 10 de plus ayant résolu le deuxième que le nombre de ceux ayant résolu le premier. Le nombre de concurrents ayant résolu le premier et le deuxième exercices dépasse de 10 le nombre de ceux qui n’ont résolu que le troisième problème. Celui qui a résolu le premier et le troisième, il a résolu le deuxième aussi. Le nombre de ceux ayant résolu que le premier exercice ou que le deuxième était au total 14. Combien de concurrents ont-ils résolu le troisième problème?

(5 points)

C. 1036. Combien y a-t-il de nombres à 9 chiffres, écrits dans le système à base de dix, qui soient divisibles par 11 et qui contiennent tous les chiffres sauf le zéro?

(5 points)

C. 1037. La base d’un triangle isocèle circonscrit à un demi-cercle se trouve sur la droite du diamètre du cercle, ses deux autres côtés sont tangents au demi-cercle. Lequel des triangles ayant ces propriétés aura-t-il une aire minimale?

(5 points)

C. 1038. La fonction $\mathop{\rm lac}\, (x)$ est définie sur l’ensemble des nombres réels comme suit:

Résoudre l’équation $\mathop{\rm lac}\, (2x^2 + x + 4)=\mathop{\rm lac}\, (x^2 + 7x -1)$ dans l’ensemble des nombres réels.

(5 points)

C. 1039. Quatre sphères de rayon unitair chacune se trouvent à l’intérieur d’une sphère de telle façon que chacune d’elle soit tangente à la grande sphère ainsi qu’aux trois autres. Quelle fraction du volume de la grande sphère les quatre petites remplissent-elles au total?

(5 points)

Les exercices K

Pour la série K, il n'y a que 7 parutions dans l'année scolaire.

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 20 juillet 2010