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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

mai 2010.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 20 juin 2010

A. 506. Montrer que pour un nombre premier p quelconque, il est possible de colorier les nombres entiers strictement positifs avec p-1 couleurs de telle manière que pour tout nombre entier strictement positif a, les couleurs des éléments de l’ensemble

{a,2a,3a,...,(p-1)a}

soient toutes différentes.

(5 points)

A. 507. Les cercles K₁,...,K₆ touchent le cercle K₀ de l’extérieur, dans cet ordre. Pour tout 1 $\le$ i $\le$ 5, les cercles K_i et K_i₊₁ se touchent de l’extérieur ; de même, K₁ et K₆ se touchent de l’extérieur comme présenté par la figure. Soit r_i le rayon du cercle K_i (0 $\le$ i $\le$ 6). Démontrer que si r₁r₄=r₂r₅=r₃r₆=1, alors r₀ $\le$ 1.

Proposé par : Balázs Strenner (Székesfehérvár)

(5 points)

A. 508. Un sous-graphe tendu S du graphe G est appelé ,,dominant'' si chaque sommet de G n’appartenant pas à S a un voisin dans S. Existe-t-il un graphe ayant un nombre pair de sous-graphes dominants? (Un sous-graphe du graphe G est composé de certains sommets de G et de certaines de ses arêtes reliant ces sommets. Si l’on prend toutes les arêtes de G reliant ces sommets, alors on parle de sous-graphe tendu).

Proposé par: László Miklós Lovász (Budapest)

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 20 juin 2010

B. 4262. Soient donnés les points P et Q. Déterminer le lieu géométrique des points d’intersection de toutes les droites e passant par P et du plan S_e orthogonal à e passant par Q.

(3 points)

B. 4263. Résoudre le système d’équations:

x³+4y=y³+16x,

$\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}} =5.$

(4 points)

B. 4264. L’angle situé au sommet C du triangle ABC mesure 120^o. Soit M l’orthocentre du triangle, O le centre de son cercle circonscrit, F le milieu de l’arc ACB de ce cercle. Montrer que MF=FO.

(3 points)

B. 4265. Colorier les nombres entiers strictement positifs avec 7 couleurs de telle manière que pour tout a entier strictement positif, les couleurs des éléments de l’ensemble {a,2a,3a,4a,5a,6a,7a} soient toutes différentes.

(4 points)

B. 4266. Soient a₁, a₂, a₃, a₄ quatre éléments consécutifs d’une ligne du triangle de Pascal. Montrer que les nombres

$\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}}, \quad \frac{a_{2}}{a_{2}+a_{3}}, \quad \frac{a_{3}}{a_{3}+a_{4}}$

forment une suite arithmétique.

(3 points)

B. 4267. Montrer que les droites perpendiculaires aux côtés d’un triangle, passant par leurs points de contact avec les cercles exinscrits, sont concourantes.

Proposé par: Gábor Holló (Budapest)

(4 points)

B. 4268. Déterminer la sixième décimale du nombre $\big(\sqrt{2010}+\big[\sqrt{2010}\,\big]\big)^{100}$ où [x] désigne la partie entière du nombre x.

(4 points)

B. 4269. Construire le point P sur le côté AB du triangle ABC tel que les rayons des cercles inscrits dans les triangles BCP et ACP soient égaux.

(5 points)

B. 4270. Soit ABCDEF un hexagone inscriptible dans un cercle. Démontrer que

ADxBExCF=ABxDExCF+BCxEFxAD+CDxFAxBE+

+ABxCDxEF+BCxDExFA.

(5 points)

B. 4271. Existe-t-il un polynôme de degré au moins deux induisant une bijection de l’ensemble des nombres rationnels sur lui-même?

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 20 juin 2010

C. 1030. Les nombres réels x, y vérifient les relations x+3y=12 et x $\ge$ 2y $\ge$ 0. Quelles valeurs l’expression x+2y peut-elle prendre?

(5 points)

C. 1031. Un joueur a coché au total dix nombres différents sur deux coupons de loto. Quatre de ces nombres sont sortis au tirage. Quelle est la probabilité que le joueur ait trouvé sur un des coupons:

a) quatre nombres?

b) deux nombres?

(chaque coupon contient les nombres naturels de 1 à 90 et on doit en cocher exactement 5)

(5 points)

C. 1032. Relier les sommets B et C d’un triangle aux points tiers des côtés opposés. Ces segments déterminent un quadrilatère. Montrer qu’une des diagonales de ce quadrilatère est parallèle au côté BC.

(5 points)

C. 1033. Résoudre l’équation suivante: $\log_{2010}\,(2009\,x)=\log_{2009}\,(2010\,x)$ .

Proposé par: János Pataki (Budapest)

(5 points)

C. 1034. Faire tourner un hexagone régulier autour de ses axes de symétrie. Donner le rapport des surfaces des objets de révolution ainsi obtenus?

(5 points)

Les exercices K

Pour la série K, il n'y a que 7 parutions dans l'année scolaire.

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 20 juin 2010