B. 4252. Pour quels nombres entiers n>2 l’affirmation suivante est-elle vraie? ,,Tout polygone convexe à n  côtés possède un côté sur lequel aucun des deux angles n’est un angle aigu.''

(3 points)

B. 4253. En utilisant des cubes bleus et rouges, nous avons construit un cube de 6×6×6 de telle façon que chaque partie de 2×2×2 soit composée exactement de 3 cubes rouges et de 5 cubes bleus. Montrer que parmi les sommets du grand cube il y a aussi exactement 3 rouges et 5 bleus.

(4 points)

B. 4254. Existe-t-il une fonction non nulle dans le plan pour laquelle la somme des valeurs prises aux sommets d’un pentagone régulier quelconque soit nulle?

(4 points)

B. 4255. Montrer que, si pour le nombre entier n  strictement positif,  2n+1 et 3n+1 sont des carrés parfaits, alors 5n+3 ne peut pas être un nombre premier.

(4 points)

B. 4256. Existe-t-il un triangle dont un angle soit coupé en quatre parts égales par la hauteur, la médiane et la bissectrice passant par le sommet de cet angle?

(4 points)

B. 4257. Pour le voyage sur Mars, on a préparé un groupe constitué de 11 000 astronautes. On sait que parmi 4 astronautes quelconques on peut choisir 3 qui forment un personnel compétent pour le module descendant sur le sol de Mars. Montrer qu’il est possible de choisir 5 astronautes de telle façon que parmi eux 3 quelconques forment un personnel compétent.

(5 points)

B. 4258. Soit donné le triangle ABC et la droite e. Pour quel point P  de e  la distance PA²+2PB²+3PC² sera-t-elle minimale?

(3 points)

B. 4259. Un cercle passant par les sommets B  et C  du triangle ABC  coupe le côté  AB  en D  et le côté AC  en E. La médiane AF du triangle coupe DE  en G. Montrer que

(4 points)

B. 4260. Résoudre le système d’équations

(4 points)

B. 4261. Sur notre maison en forme de cube, nous posons un toit constitué de deux triangles isocèles et de deux trapèzes symétriques dont les arêtes sont de même longueur et dont deux faces voisines quelconques forment un angle de même mesure. Combien de fois l’arête du toit est-elle plus grande que celle du cube?

(5 points)

 

K. 247. Dans les trois premières années de sa vie, la Belle au bois dormant dormait en moyenne 14 heures par jour, ensuite jusqu’à l’âge de 16 ans 8 heures par jour, puis à partir du jour de son 16. anniversaire, quand elle s’est fait piquer le doigt avec le fuseau, pendant 100 ans 24 heures par jour. Un muscardin hiberne pendant 5 mois (du 1^er novembre au 31 mars), le reste de l’année, il est réveillé 8 heures par jour en moyenne (la nuit). Après combien d’années de sommeil le prince charmant aurait dû réveiller la Belle au bois dormant pour que sa durée moyenne journalière de sommeil, en comptant de sa naissance jusqu’au moment du réveil, soit la même que celle d’un muscardin? (En effectuant les calculs, pour simplifier, on peut négliger les années bissextiles, c’est à dire qu'on peut prendre le mois de février toujours avec 28 jours.)

(6 points)

K. 248. La  figure  présente le patron d’un cube. Peindre deux carrés en rouge, les quatre autres en blanc, en vert, en jaune et en bleu de telle manière que le cube plié à partir de ce patron ne possède pas deux faces voisines de même couleur.

De combien de manières différentes peut-on colorier la figure selon ces conditions?

(6 points)

K. 249. On jette dans une tirelire des pièces de monnaie de valeurs nominales 5, 10, 20, 50, 100 et 200. La somme qu’elle contient en ce moment est 18 200. Avant d’y jeter la dernière pièce, le nombre des pièces de valeurs nominales différentes était inversement proportionnel à leurs valeurs nominales. Combien y a-t-il de pièces de 200 actuellement dans la tirelire?

(6 points)

K. 250. Deux personnes ont estimé le nombre de spectateurs à un concert en plein air. Selon la première il y avait 2700 personnes, selon l’autre 3600. On a appris par la suite que, par rapport à la réalité, l’une des estimations était erronée de deux fois plus de pour cent que l’autre, mais l’une a été sous-estimée, l’autre surestimée. Combien de personnes ont-elles participé au concert?

(6 points)

K. 251. Prolonger les deux diagonales d’un carré de côté  , dans un sens, de la longueur de son côté.

a) Donner la longueur du segment reliant les extrémités nouvelles des prolongements.

b) Montrer que le carré possède un sommet qui détermine un triangle isocèle avec les extrémités nouvelles des prolongements.

(6 points)

K. 252. Multiplier la somme de six nombres entiers consécutifs par la somme des six nombres entiers consécutifs suivants. Montrer que la division de ce produit par 36 donne toujours le même reste.

(6 points)