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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

mars 2010.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 14 avril 2010

A. 500. Soient donnés, dans l’espace, un plan ${\cal S}$ et les surfaces d’ellipsoïdes de révolution ${\cal E}_1$ , ${\cal E}_2$ et ${\cal E}_3$ obtenues par la rotation d’ellipses autour de leurs grands axes. Trois foyers, un de chaque ellipsoïde, se trouvent en un même point. Supposons que pour chaque i=1,2,3 les surfaces ${\cal E}_{i+1}$ et ${\cal E}_{i+2}$ possèdent exactement deux points communs avec le plan ${\cal S}$ et notons par $\ell$ _i la droite reliant les deux points communs.

Montrer que les droites $\ell$ ₁, $\ell$ ₂ et $\ell$ ₃ sont concourantes ou parallèles.

D’après l’idée de Kristóf Kornis (Budapest)

(5 points)

A. 501. Soit p>3 un nombre premier. Déterminer les trois derniers chiffres du nombre

$\sum_{i=1}^{p} \binom{i\cdot p}{p}\cdot\binom{(p-i+1)p}{p}$

dans le système de base p.

d’après la proposition de Gábor Mészáros (Kemence)

(5 points)

A. 502. Montrer que, pour des nombres complexes w₁,w₂,...,w_n quelconques, il existe un nombre entier strictement positif k $\le$ 2n+1 tel que

$\mathop{\rm Re} \big(w_1^k+w_2^k+\dots+w_n^{k}\big) \ge 0.$

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 14 avril 2010

B. 4242. Existe-t-il un n tel qu’un échiquier 4×n puisse être parcouru par un cavalier qui passe sur chaque case exactement une fois et au dernier coup retourne à la case de départ? Quelle est la réponse si l’on ne doit pas revenir au dernier coup à la case de départ?

(4 points)

B. 4243. Montrer que 65⁶⁴+64 est un nombre composé.

(3 points)

B. 4244. Construire un triangle rectangle, étant donné la longueur de son hypothénuse et le rayon de son cercle exinscrit à un autre côté.

(4 points)

B. 4245. Montrer que si le polygone convexe $\mathcal{K}$ n’est pas un parallélogramme, alors il est possible de choisir trois de ses côtés de telle façon que le triangle déterminé par les droites de ces côtés contienne $\mathcal{K}$ .

(4 points)

B. 4246. Nous savons que les racines x₁, x₂, x₃ de l’équation x³-(a+2)x²+(2a+1)x-a=0 satisfont l’égalité

$\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = \frac{3}{x_3}$

Résoudre l’équation.

(Concours de mathématiques de l’Ecole Supérieure des Professeurs des Ecoles, 1975/2)

(4 points)

B. 4247. ABCD et ABEF sont deux faces d’un cube. Soient M et N des points des diagonales AC et FB tels que AM=FN. Quel est le lieu géométrique du milieu du segment MN?

(3 points)

B. 4248. Soient O_a, O_b, O_c, les centres des cercles exinscrits du triangle ABC, I le centre de son cercle inscrit, R. le rayon de son cercle circonscrit. Soit A₁le point d’intersection de la droite perpendiculaire à AB passant par O_b avec la droite perpendiculaire à AC passant par O_c. Montrer que A₁I=2R.

(5 points)

B. 4249. Quelqu’un a pensé à n nombres entiers positifs ou nul, pas forcément différents, et a écrit ensuite sur une feuille toutes les (2ⁿ-1) sommes pouvant être formées à partir de ses nombres. Est-il possible de déterminer les nombres d’origines à partir de ces sommes?

(4 points)

B. 4250. Soit l’origine O du système orthogonal le centre de l’hexagone régulier ABCDEF, son sommet A ayant pour coordonnées (0;1). Soit $\mathcal{H}_1$ la plaque de triangle équilatéral ACE, $\mathcal{H}_2$ celle de BDF. Déterminer l’ensemble des points P pour lesquels le vecteur $\overrightarrow{OP}$ s’obtient sous la forme $\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}$ , où $P_1\in \mathcal{H}_1$ et $P_2\in \mathcal{H}_2$ .

(4 points)

B. 4251. Soit p>3 un nombre premier. Déterminer, dans le système à base p, les deux derniers chiffres du nombre

$\sum_{i=1}^{p} \binom{i\cdot p}{p}\cdot\binom{(p-i+1)p}{p}$

d’après la proposition de Gábor Mészáros (Kemence)

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 14 avril 2010

C. 1020. Au pays des Liliputiens, les membres d’une fraction parlementaire participent aux travaux de quatre commissions. Chaque membre de la fraction travaille dans deux commissions et deux commissions quelconques ont un membre en commun de la fraction. Combien de membres cette fraction a-t-elle?

(5 points)

C. 1021. Soit P un point du côté AC du triangle ABC et Q un point du côté BC. La droite parallèle à BC passant par P coupe AB en K, la droite parallèle à AC passant par Q coupe AB en L. Montrer que si PQ est parallèle à AB, alors AK=BL.

(5 points)

C. 1022. Un sous-plat à articulations en forme de losange a des côtés de 20 cm de long chacun, sa plus longue diagonale ayant une longueur de 32 cm. On compresse le sous-plat le long de la plus longue diagonale et on constate que l’augmentation de la longueur de l’autre diagonale correspond à 1,2 fois la longueur de la compression. Donner les nouvelles longueurs des diagonales.

(5 points)

C. 1023. On mélange six cartes numérotées de 1à 6 puis on tire trois cartes les unes après les autres. Quelle est la probabilité que les nombres se trouvant sur les cartes tirées constituent une suite croissante?

(5 points)

C. 1024. Déterminer le polynôme p(x) de quatre degrés au maximum, ayant des minimums et des racines pour x₁=-3 et x₂=5. Nous savons encore que le polynôme q(x)=p(x-1) est pair et la valeur de son maximum local est 256.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 14 avril 2010

K. 241. Le chemin reliant les villages A et B a été divisé en trois parties. Si la première partie était 1,5 fois plus longue et si la deuxième partie avait 2/3 fois sa distance actuelle, alors les trois parties du chemin seraient de même longueur. Quelle fraction du chemin la troisième partie représente-t-elle?

(6 points)

K. 242. Nous devons enregistrer sur ordinateur les résultats d’un test noté sur cent. Après la saisie d’une note, la moyenne des notes saisies jusqu’alors est affichée sur l’écran. Nous avons remarqué que les notes des cinq premiers élèves étaient telles qu’après chaque saisie, la moyenne a augmenté de 3 points. (Ceci n’était pas encore valable pour la première saisie car à ce moment-là il n’y avait pas encore de moyenne.) De combien de points le cinquième élève avait-il plus que le premier?

(6 points)

K. 243. Grand-mère ne prépare que des gaufres au chocolat et à la confiture. A une occasion, 40% des gaufres étaient à la confiture. Un autre jour, grand-mère a préparé par rapport à ça 10% de plus de gaufres à la confiture et 5% de moins au chocolat. De combien de pour cent le nombre de gaufres a-t-il changé au total?

(6 points)

K. 244. Donner le plus grand nombre premier diviseur de 11!+13!. (11! désigne le produit des nombres entiers allant de 1 à 11.)

(6 points)

K. 245. Résoudre les équations suivantes, sachant que x et y sont des nombres premiers strictement positifs.

a) xy(x+y)=2010,

b) xy(x+y)=2009.

(6 points)

K. 246. En utilisant quatre nombres entiers différents strictement positifs, nous avons formé tous les nombres à quatre chiffres dans lesquels les chiffres sont différents. La somme de ces nombres à quatre chiffres est 186648. Quels pouvaient être les chiffres d’origine utilisés?

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 14 avril 2010