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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

février 2010.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 14 mars 2010

A. 497. Soit donné dans le plan un triangle ABC à angles aigus. Soient A₁, B₁ et C₁ les projections perpendiculaires d’un point intérieur quelconque P du triangle sur les côtés BC, CA et AB. Soient $\varrho$ ₁, $\varrho$ ₂,..., $\varrho$ ₆, dans l’ordre, les rayons des cercles inscrits des triangles PAC₁, PC₁B, PBA₁, PA₁C, PCB₁ et PB₁A.

Déterminer le lieu géométrique des points P pour lesquels

$\varrho$ ₁+ $\varrho$ ₃+ $\varrho$ ₅= $\varrho$ ₂+ $\varrho$ ₄+ $\varrho$ ₆.

Proposé par: Viktor Vígh (Szeged)

(5 points)

A. 498. Soit p(x) un polynôme à coefficients entiers et w un nombre complexe de module 1. Montrer que si c=p(w) est un nombre réel, alors il existe un polynôme à coefficients entiers q(x) tel que ${c=q\left(w+\frac 1w\right)}$ .

(5 points)

A. 499. Montrer qu’il existe des constantes strictement positives c et n₀ ayant les propriétés suivantes: Si A est un ensemble fini de nombres entiers et |A|=n>n₀, alors

|A-A|-|A+A| $\le$ n²-cn^8/5.

Concours de Mathématiques en souvenir de Miklós Schweitzer, 2009

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 14 mars 2010

B. 4232. Deux voiliers naviguent sur le lac d’Annecy, à la vitesse de 10 km/h chacun, avec des trajectoires perpendiculaires. A un moment donné, en s’approchant du point d’intersection imaginaire de leurs trajectoires, le bateau A se trouve à 1 km de celui-ci tandis que le bateau B est à 2 km de distance de ce même point. En nageant à une vitesse constante, un homme voudrait aller du voilier A au voilier B. Quand doit-il sauter à l’eau pour passer le moins de temps possible dans l’eau, sachant qu’il nage à la vitesse de 2 km/h?

Proposé par: Levente Koncz

(4 points)

B. 4233. Nous devons colorier les sous-ensembles à trois éléments d’un ensemble à sept éléments de telle façon que deux sous-ensembles disjoints soient toujours de couleurs différentes. De combien de couleurs au minimum avons-nous besoin pour faire ceci?

(4 points)

B. 4234. A partir d’un alphabet de k éléments, former tous les mots de longueur n composés de lettres toutes différentes. Relier deux mots entre eux par une arête s’ils ne sont différents qu’à un seul endroit. Donner le diamètre du graphe ainsi obtenu.

CIIM, Kolumbia, 2009

(4 points)

B. 4235. Nous avons divisé les côtés du quadrilatère convexe ABCD en n $\ge$ 2 parts égales. Soient A_k, B_k, C_k, D_k. les k-ièmes points de division à compter des sommets A, B, C, D sur les côtés AB, BC, CD, DA. Pour quels couples (n,k) est-il vrai que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si le quadrilatère A_kB_kC_kD_k l’est aussi?

Proposé par: Gábor Mészáros(Kemence)

(3 points)

B. 4236. Soient a, b et c les côtés du triangle ABC, les longueurs des bissectrices intérieures f_a, f_b et f_c, les longueurs des segments des bissectrices intérieures se trouvant à l’intérieur du cercle circonscrit t_a, t_b et t_c. Montrer que a²b²c²=f_af_bf_ct_at_bt_c.

(Mathematics Magazine, 1977)

(3 points)

B. 4237. Soit n un nombre entier strictement positif. Déterminer la somme de toutes les fractions $\frac{1}{xy}$ telles que x et y soient des nombres premiers entre eux inférieurs ou égaux à n et que leur somme soit supérieure à n.

(5 points)

B. 4238. Montrer que les points de la courbe d’équation $\sqrt{X}+\sqrt{Y}=1$ se trouvent sur une parabole.

(4 points)

B. 4239. Résoudre l’équation

8x(2x²-1)(8x⁴-8x²+1)=1

(5 points)

B. 4240. Soit m la droite d’intersection des plans S₁ et S₂. Le point d’intersection d’une droite e et du plan S_i est D_i, l’angle formé par e et S_i est $\alpha$ _i. Montrer que si D₁ $\ne$ D₂, alors $\alpha$ ₁> $\alpha$ ₂ est vrai si et seulement si D₁ se trouve plus près de m que D₂.

(4 points)

B. 4241. Soit p₁=2, et pour n $\ge$ 1 soit p_n₊₁ le plus petit nombre premier diviseur du nombre $np_1^{1!}p_2^{2!}\ldots p_n^{n!}+1$ . Montrer que dans la suite p₁,p₂,... tous les nombres premiers interviennent.

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 14 mars 2010

C. 1015. On ajoute à un nombre à trois chiffres la somme de ses chiffres. On obtient ainsi un nombre contenant les mêmes chiffres. On soustrait maintenant au nombre d’origine la somme de ses chiffres. On obtient de nouveau un nombre contenant les mêmes chiffres. Quel était le nombre d’origine?

(5 points)

C. 1016. Dans le triangle rectangle ABC, l’angle situé au sommet B est de 30^o. Le centre du carré tracé à l’extérieur sur l’hypothénuse BC est D. Donner la mesure de l’angle ADB.

(5 points)

C. 1017. Les deux cubes présentés par la figure ont été posés sur une table horizontale. En ajoutant la longueur d’une arête de l’un à la longueur d’une arête de l’autre, le résultat est 2 cm; la somme de leurs volumes est de 5,375 cm³. Donner l’aire du rectangle noir.

(5 points)

C. 1018. A l’école maternelle, un groupe constitué de 5 filles et de 7 garçons joue ''au mariage''. Ils choisissent parmi eux un couple de mariés, un adjoint au maire, deux demoiselles d’honneur, un animateur pour la mariée et un autre pour le marié, un témoin pour la mariée et un témoin pour le marié. Nous savons que trois filles ont chacune un petit frère dans le groupe et qu’il n’y a pas d’autres paires de frère et sœur. De combien de manières différentes peuvent-ils faire leurs choix, sachant que les frères et sœurs ne peuvent pas être des couples de mariés et que l’adjoint au maire ne peut pas être le frère ou la sœur d’aucun des deux mariés? (Les demoiselles d’honneur ne peuvent être que des filles, les animateurs sont des garçons, les témoins peuvent être filles ou garçons.)

(5 points)

C. 1019. Un cylindre droit circulaire couché sur le plan horizontal est calé par deux pavés(parallélépipèdes rectangles). Une arête supérieure de chaque pavé touche le cylindre. Donner le rayon du cylindre, sachant que les hauteurs des pavés sont de 9 et de 2 cm et leur distance est de 23 cm.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 14 mars 2010

K. 235. Sur la planète Kloppar, la monnaie officielle est le tirof, la plus grande monnaie d’échange de celui-ci est le dimar, la plus petite monnaie d’échange est le nepi. Un dimar est égal à un nombre entier de nepis, un tirof est égal à un nombre entier de dimars. Sur cette planète, Shangui entre dans un restaurant, il dîne et reçoit la facture suivante:

Vondar rôti: 7 dimars 2 nepis; Aigre de roguin: 10 dimars 5 nepis; Pain Vundeg: 1 dimar 6 nepis; Nesztaki gazeux: 6 dimars 4 nepis; Tarte Krabban: 4 dimars; Total à payer: 2 tirofs 8 dimars 1 nepi. Combien de dimars y a-t-il dans un tirof et combien de nepis y a-t-il dans un dimar?

(6 points)

K. 236. Le point d’intersection de deux bissectrices internes d’un parallélogramme se trouve sur un des côtés du parallélogramme. En quel rapport ce point divise-t-il le côté du parallélogramme?

(6 points)

K. 237. A un parcmètre, on doit payer pour le parking entre 8 heures et 18 heures, 1,20 euros pour une heure. Le minimum à payer est 30 cents et on ne peut acheter de ticket que pour 3 heures au maximum. L’appareil n’accepte que les pièces de 10, 20, 50 cents et la pièce de 1 euro. L’horloge indique continuellement l’heure exacte de fin de droit avec la somme qu’on a déjà payée, l’heure indiquée ne pouvant pas dépasser 18:00 (donc, à 17:15 on ne peut plus mettre une pièce de 1 euro dans l’appareil).

a) Dans quel intervalle de temps est-il impossible d’acheter un ticket valable?

b) On arrive devant le parcmètre à 11:28 et on aimerait rester jusqu’à 19:00. Combien de fois, quand et quelles pièces doit-on introduire dans l’appareil, sachant qu’on doit limiter au minimum le nombre de pièces utilisées et qu’on ne veut pas rester dans le parking sans ticket valable, même une minute?

(6 points)

K. 238. Soit O le centre du pentagone régulier ABCDE. Nous aimerions colorier les points A, B, C, D, E, O en rouge, jaune, bleu ou en vert (un point en une seule couleur), de telle manière qu’aucun des triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEA ne possède deux sommets de même couleur. De combien de manières différentes est-il possible de colorier les points dans ces conditions?

(6 points)

K. 239. Quelqu’un a acheté une tablette de chocolat et a remarqué ensuite avec surprise que dans un autre magasin le même chocolat coûte d’autant de pour cent de moins qu’il a payé de cents. A quel prix a-t-il acheté le chocolat, sachant que son prix dans l’autre magasin est de 75 cents?

(6 points)

K. 240. Un groupe comptant un nombre de membres M faisait une excursion. Juste la moitié du groupe partait à pied. Ils ont mis 1 heure pour atteindre leur destination située à M kilomètres. L’autre moitié du groupe est partie à vélo par un autre chemin. Leur vitesse moyenne(sans compter leur temps de repos) était M fois la vitesse des marcheurs moins M.

Les cyclistes se sont arrêtés pour M minutes à cause d’un pneu dégonflé puis pour M fois autant de temps à cause d’une chaîne cassée. Quand ils ont repris la route, pendant M minutes un vélo jusqu’alors sans problème technique était en tête puis il a cédé la première place à un autre. Les cyclistes sont finalement arrivés M minutes plus tôt que les marcheurs. Donner la longueur du chemin parcouru par les cyclistes et celle du chemin des marcheurs.

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 14 mars 2010