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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

janvier 2010.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 15 février 2010

A. 494. Soient p₁,...,p_k des nombres premiers et soit S un sous-ensemble de l’ensemble des nombres entiers n'admettant pas de diviseurs premiers autres que p₁,...,p_k. Pour un sous-ensemble fini A de nombres entiers, soit $\mathcal{G}(A)$ le graphe dont les sommets sont les éléments de A, ses arêtes étant les couples a,b $\in$ A tels que a-b $\in$ S. Existe-t-il pour tout m $\ge$ 3 un sous-ensemble A de nombres entiers à m éléments tel que

(a) $\mathcal{G}(A)$ soit complet?

(b) $\mathcal{G}(A)$ soit connnecté mais le degré de chacun de ses sommets soit au maximum 2?

Concours de Mathématiques en Souvenir de Miklós Schweitzer (2009)

(5 points)

A. 495. Dans un triangle ABC à angles aigus, soit $\angle$ BAC= $\alpha$ . Soit D un point à l’intérieur du triangle situé sur la bissectrice de l’angle BAC, soit E un point du segment AB et F un point du segment BC tels que

$\angle$ BDC=2 $\alpha$ , $AED\angle= 90^\circ+\frac{\alpha}{2}$ , et $\angle$ BEF= $\angle$ EBD. Déterminer le rapport BF /FC.

(5 points)

A. 496. Soient a₁,a₂,...,a_2k des nombres entiers tous différents, soit M un ensemble de nombres entiers ayant au maximum k éléments qui ne contient pas le nombre 0 ni le nombre s=a₁+a₂+...+a_2k. Une criquet sautille sur la droite des nombres réels en partant du point 0 en effectuant 2k sauts dont les valeurs sont a₁,a₂,...,a_2k dans un certain ordre. Si a_i>0, alors le criquet saute dans l’étape correspondante vers la droite, si a_i<0, alors il saute vers la gauche à une distance |a_i|. Démontrer que le criquet peut choisir l’ordre des sauts de telle façon qu’il ne saute sur aucun élément de l’ensemble M.

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 15 février 2010

B. 4222. Parmi les 30 élèves d’une classe, des groupes de 8 personnes partaient en voyage dans un minibus, 16 fois dans l’année. Montrer qu’il y a deux élèves dans la classe qui ont voyagé au moins deux fois ensemble.

(3 points)

B. 4223. Est-il possible de choisir un nombre dans chacune des paires (1;36), (2;35), ..., (12;25) de telle sorte que la somme des nombres choisis soit égale à la somme des nombres non choisis? La réponse change-t-elle si on supprime les deux dernières paires?

Proposé par: János Pataki (Budapest)

(4 points)

B. 4224. Quel nombre entier la somme des longueurs des diagonales d’un losange de côté 2 peut-elle donner?

Proposé par: Gábor Nyul

(3 points)

B. 4225. Résoudre le système d’équations suivant:

$\frac{\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{y+z}} + \frac{\sqrt{y+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+z}} = 14 - 4\sqrt{x+z}- 4\sqrt{y+z},$

$\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y} +\sqrt{z+y} = 4$

Proposé par: Bálint Bíró

(3 points)

B. 4226. Pour les côtés du triangle T, on a a<b<c. Considérer un losange dont un sommet est identique à un sommet de T et ses autres sommets se trouvent sur les côtés de T. Montrer que si parmi les trois losanges ayant ces propriétés, deux ont la même aire, alors b²=ac.

(4 points)

B. 4227. Est-il vrai que si, à partir des segments a, b, c et d il est possible de construire un quadrilatère, alors à partir de ces segments il est possible aussi de construire un quadrilatère inscriptible dans un cercle?

(4 points)

B. 4228. La suite p_n est définie par récurrence. Soit p₁=2 et soit p_n₊₁ le plus grand diviseur premier de p₁p₂...p_n+1. Est-ce que 11 est un élément de cette suite?

(5 points)

B. 4229. Dans le parallélogramme ABCD, on a: 2BD²=BA²+BC². Montrer que le cercle circonscrit du triangle BCD passe par un des points tiers de la diagonale AC.

Proposé par: Levente Koncz(Budapest)

(4 points)

B. 4230. La longueur de chaque arête d’une pyramide régulière à base carrée est égale à l’unité. Déterminer la distance de deux droites déterminées par deux arêtes opposées.

(4 points)

B. 4231. Montrer que dans le développement binomial de (x+y)ⁿ le nombre de termes à coefficients non divisibles par 3 n’est pas divisible par 5.

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 15 février 2010

C. 1010. Saint Nicolas répartit 53 papillotes entre trois sachets en faisant attention que chaque sachet contienne un nombre de papillotes différent et que deux sachets quelconques contiennent au total plus que le troisième. De combien de manières différentes peut-il faire ceci?

(5 points)

C. 1011. Montrer que la valeur de l’expression a³-3ab²+2b³ est positive ou nul si a et b sont des nombres réels positifs ou nul.

(5 points)

C. 1012. Autour de chaque sommet d’un carré, tracer un cercle passant par le centre du carré. Ces cercles coupent les côtés du carré en 8 points au total. Montrer que ces points d’intersection sont les sommets d’un octogone régulier.

(5 points)

C. 1013. Représenter les points de coordonnées (x;y) du plan tels que:

x²+y² $\le$ 2 et $-1 \le \frac{x}{x+y}\le 1$ .

(5 points)

C. 1014. Le nombre de ceux qui ont acheté des tickets pour le concert du nouvel an est un carré parfait. Si 100 de plus avaient acheté des tickets, alors le nombre de spectateurs serait un carré parfait plus un. Si encore 100 personnes de plus achetaient des tickets, alors le nombre de spectateurs serait de nouveau un carré parfait. Combien de personnes ont-elles acheté des tickets pour le concert?

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 15 février 2010

K. 229. On doit construire les points tiers d’un segment AB donné. A chaque extrémité du segment, tracer une demi-droite formant chacune un angle de 30^o avec le segment, soit C le point d’intersection de celles-ci. Tracer ensuite les médiatrices des segments AC et BC. Montrer que ces droites coupent le segment AB en trois parts égales.

(6 points)

K. 230. Dans la rue Sansnuméro, il y a des terrains identiques sur les deux côtés de la rue. Sur le côté impair, une maison a été construite sur chaque terrain; sur le côté pair, il y a encore quelques terrains les uns à côté des autres qui sont vides mais sur le premier terrain il y a même deux maisons. Les propriétaires ont décidé d’acheter ensemble les numéros des maisons. Le prix d’un chiffre est 50 €, ils ont dépensé au total 4250 € pour les chiffres; pour les chiffres des maisons sur le côté impair 550 € de plus que pour ceux des maisons du côté pair. Par superstition, sur le côté impair ils n’ont pas commencé la numérotation par le nombre 1 mais par 3, les deux maisons situées sur le premier terrain du côté pair ont obtenu les numéros 2 et 4. Ils n’ont pas acheté de numéros pour les futures maisons des terrains vides sur le côté pair mais à la numérotation des maisons ils ont tenu compte de ces futures maisons, leurs numéros n’ont pas été attribués à d’autres. Donner le plus grand numéro sur le côté impair et le nombre de maisons qu’on pourra encore construire du côté pair.

(6 points)

K. 231. En additionnant les derniers chiffres des produits 1^.2, 2^.3, 3^.4, ..., n(n+1), le résultat est 2010. Donner le nombre de produits dont on a additionné les derniers chiffres.

(6 points)

K. 232. Soit E le milieu du côté BC du parallélogramme ABCD, F le milieu de son côté CD. La diagonale BD est coupée par la droite AE en P, par la droite AF en Q. Donner le rapport des aires des triangles APQ et AEF.

(6 points)

K. 233. Le pot de miel préféré de monsieur Ours est en forme de cylindre droit, le diamètre de son cercle de base est de 16 cm. La cuillère préférée de monsieur Ours a une longueur de 23 cm, la plus part du temps il s’en sert pour manger le miel. Un jour, monsieur Ours a laissé tombé par inadvertance sa cuillère dans le pot et celle-ci était complètement plongée dans le miel. Au moins combien de litres de miel le pot contenait-il? (Considérer le volume de la cuillère comme négligeable.)

(6 points)

K. 234. Tracer un carré sur chaque côté à l’extérieur d’un rectangle ayant un périmètre donné. Comment choisir les côtés du rectangle pour que l’aire du dodécagone ainsi obtenu soit minimale?

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 15 février 2010