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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

décembre 2009.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 13 janvier 2010

A. 491. Dans le triangle A₁A₂A₃, pour chaque i=1,2,3, le cercle exinscrit au côté A_i₊₁A_i₊₂ touche les demi-droites A_iA_i₊₁ et A_iA_i₊₂ en P_i et en Q_i. (Les indexes sont compris modulo 3, donc par exemple A₄=A₁ et A₅=A₂.) Soit R_i le point d’intersection des droites P_iP_i₊₁ et Q_iQ_i₊₂ et S_i le point d’intersection des droites P_i₊₁P_i₊₂ et Q_i₊₁Q_i₊₂ (i=1,2,3). Démontrer que les droites R₁S₁, R₂S₂ et R₃S₃ sont concourantes.

D’après l’idée de Bálint Bíró (Eger)

(5 points)

A. 492. Pour un ensemble H non vide quelconque ayant pour éléments des nombres entiers strictement positifs, soit le plus grand diviseur commun des éléments de H. Montrer que si A est un ensemble fini, non vide, ayant pour éléments des nombres entiers strictement positifs, alors

(5 points)

A. 493. Démontrer que l’inégalité

$\sum_{i=1}^n\ \sum_{j=1}^n \frac{a_ia_j}{{(p_i+p_j)}^c}\ge 0$

est vraie pour des réels $a_1,a_2,\ldots,a_n$ quelconques et pour des nombres strictement positifs $c,p_1,p_2,\ldots,p_n$ .

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 13 janvier 2010

B. 4212. Dans une salle de cinéma, 80% des adultes sont des hommes, 40% des spectateurs masculins sont des enfants, 20% des enfants sont des garçons.

Quel est le nombre minimum de spectateurs dans la salle?

Proposé par: János Pataki (Budapest)

(3 points)

B. 4213. Quel est le nombre maximum de côtés d’un polygone convexe que l’on peut découper en triangles rectangles ayant des angles de 30° et 60°?

(4 points)

B. 4214. Sur un échiquier on joue avec les pions selon la règle suivante: chaque pion peut sauter par-dessus un autre pion de telle façon qu’il arrive sur l’échiquier en position symétrique par rapport à ce dernier. Est-il possible de déplacer de cette manière neuf pions de la position de gauche à la position visible à droite?

(Kvant)

(3 points)

B. 4215. Soit donné dans le plan une droite e et d’un côté de celle-ci deux points A et B. Soit M un point de la droite pour lequel la somme AM+MB est minimale, N un point de la droite pour lequel AN=BN. Démontrer que les points A, B, M, N se trouvent sur un cercle.

(Kvant)

(4 points)

B. 4216. Rechercher tous les nombres carrés parfaits de la forme suivante:

(5 points)

B. 4217. Dans un triangle à angles aigus, notons les côtés et les angles (en radian) par a, b, c et $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Montrer que

$\frac{\pi}{3}\le \frac{\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2}{a^2+b^2+c^2}<\frac{\pi}{2}.$

(4 points)

B. 4218. Quelle peut être la longueur de la boucle la plus courte dans un graphe dans lequel aucun sommet n’est relié à tous les autres, deux sommets quelconques non reliés par une arête ont un voisin commun et si n désigne le nombre de sommets, alors la somme des carrés des degrés est n²-n? (Le degré d’un sommet est le nombre de voisins de ce sommet)

Proposé par: Balázs Montágh (Memphis)

(5 points)

B. 4219. Soient f, g, h des droites distinctes de l’espace pour lesquelles il est vrai que si une droite e de l’espace a un point commun avec f et g, alors elle a aussi un point commun avec la droite h. Que peut-on dire de la position relative des droites f, g, h?

Proposé par: Gábor Mészáros (Kemence)

(4 points)

B. 4220. Résoudre le système d’équations suivant:

$1-\frac{12}{3x+y} & =\frac{2}{\sqrt{x}},$

$1+\frac{12}{3x+y} & =\frac{6}{\sqrt{y}}.$

exercice de concours lituanien

(4 points)

B. 4221. Montrer que si le côté du polygone régulier à 18 côtés inscrit dans un cercle de rayon r est a, alors a³+r³=3ar².

(4 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 13 janvier 2010

C. 1005. Un TER double un train de marchandises roulant sur une voie parallèle puis au retour ils passent aussi l’un à côté de l’autre. Le rapport des vitesses du TER et du train de marchandises est égal au rapport du temps de dépassement et du temps nécessaire pour passer l’un à côté de l’autre. Combien de fois la vitesse du TER est-elle plus grande que celle du train de marchandises, sachant qu’ils roulent tous les deux à vitesse constante?

(5 points)

C. 1006. Démontrer que les nombres à six chiffres de la forme $\overline{ababab}$ ne peuvent pas avoir des facteurs nombres premiers à plus de deux chiffres.

(5 points)

C. 1007. Démontrer que le diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle est la moyenne géométrique de la différence de l’hypothénuse et d’un autre côté et du double de la différence de l’hypothénuse et du troisième côté.

(5 points)

C. 1008. On place les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 au hasard dans un certain ordre. Quelle est la probabilité qu’on obtienne ainsi un nombre à sept chiffres divisible par quatre? (Le nombre ne peut pas commencer par zéro.)

(5 points)

C. 1009. Au cercle d’équation x²-6x+y²-2py+17=0 on peut tracer deux tangentes passant toutes deux par l’origine et perpendiculaires l’une à l’autre. Déterminer les valeurs possibles de p.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 13 janvier 2010

K. 223. Une banque donne 6% d’intérêts sur un compte d’épargne bloqué, après déduction des impôts. Le montant des intérêts est déterminé en calculant le montant des intérêts de la somme placée pour un jour (en comptant 365 jours dans l’année), puis en multipliant ce montant par la durée en nombre de jours du placement bloqué. A la date de disponibilité, le montant placé est viré sur un compte accessible et les intérêts sont rajoutés. Mais la banque envoie un courrier postal à la date de placement ainsi qu’à la date de mise en disponibilité, les frais de chaque lettre se montent à 0,60 euros. Au moins quelle somme doit-on placer dans cette banque pour 30 jours pour que cela vaille le coup? (La banque paie 0% d’intérêts sans bloquer la somme placée.)

(6 points)

K. 224. Sur la table, il y a des ,,dés'' à six faces et à quatre faces (des cubes et des tétraèdres). Sur les dés à six faces, la numérotation avec des points va de 1à 6, sur ceux à quatre faces de 1à 4. Le nombre total de points sur les ,,dés'' est 323. Si on avait autant de ,,dés'' à quatre faces qu’on a de dés à six faces et si on avait autant à six faces qu’on a de dés à quatre faces, alors le nombre total de points sur les ,,dés'' serait 185. Combien a-t-on de ,,dés'' à six faces et combien à quatre faces?

(6 points)

K. 225. Antoine a sorti de sa boite de jeu logique six carrés identiques et il les range sur la table selon la règle suivante: d’abord il place un carré puis il pose le suivant de telle façon qu’il touche au moins par un de ses côtés un côté complet de l’autre carré déjà posé et ainsi de suite. (aux raccords, les sommets sont toujours en contact avec des sommets.) Montrer que parmi les formes géométriques obtenues, celles correspondant au patron d’un cube ont toutes le même périmètre.

(6 points)

K. 226. Julie a écrit chacun des nombres 1, 11, 121, 1331, 14 641 et 161 051 sur dix bouts de papier qu’elle a jetés ensuite dans une boîte et elle en a tiré quelques-uns. En additionnant les nombres se trouvant sur les bouts de papier elle a obtenu 1 111 111. Combien de bouts de papier a-t-elle tiré?

(6 points)

K. 227. Thomas et Stéphane se préparent tous les jours à une course à pied en faisant plusieurs tours autour d’une grande place en forme de triangle équilatéral. Ils démarrent toujours au même moment et avancent à vitesse constante. Thomas commence à courir à partir d’un sommet du triangle, Stéphane à partir d’un autre sommet et ils courent à contre-sens l’un par rapport à l’autre. Thomas met 4 minutes pour parcourir la distance entre deux sommets voisins, tandis que Stéphane a besoin de 5 minutes pour parcourir la même distance. Est-il possible qu’ils se rencontrent pendant leur course à un sommet de la place?

(6 points)

K. 228. La longueur de la diagonale d’un parallélépipède est $\sqrt{\overline{aaaa}}$ , où $\overline{aaaa}$ est un nombre à quatre chiffres. Les longueurs des trois arêtes différentes sont trois nombres impairs consécutifs. Donner les longueurs des arêtes du parallélépipède.