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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

novembre 2009.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 11 décembre 2009

A. 485. Soit O le centre de la sphère circonscrite du tétraèdre ABCD. Soient P, Q et R des points intérieurs des arêtes AB, AC et AD. Soient K, L, M et N les centres de gravité des triangles PQD, PRC, QRB et PQR. Démontrer que si le plan PQR est tangent à la sphère KLMN, alors OP=OQ=OR.

(5 points)

A. 488. Soit O le centre du cercle circonscrit du triangle P₁P₂P₃ et Q un point à l’intérieur du triangle. Pour chaque i=1,2,3, t_i et O_i désignent l’aire et le centre du cercle circonscrit du triangle QP_i₊₁P_i₊₂. (Pour les sommets, on adopte une notation cyclique, donc P₄=P₁ et P₅=P₂.) Montrer que

$t_1\cdot \overrightarrow{OO_1} + t_2\cdot \overrightarrow{OO_2} + t_3\cdot \overrightarrow{OO_3} = 0.$

exercice de concours allemand

(5 points)

A. 489. Existe-t-il un polynôme non constant dont la valeur à chaque entier est un nombre entier non carré parfait?

(5 points)

A. 490. Les faces latérales d’un prisme, ayant pour base un triangle équilatéral, sont des carrés. On pose le prisme sur la table et on le fait rouler de telle façon qu’une de ses arêtes reste toujours sur la table. Après quelques roulements, le prisme couvre le même triangle équilatéral sur la table qu’au départ. Montrer alors que chaque sommet du prisme se trouve dans sa position de départ.

Proposé par: László Csirmaz (Budapest)

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 11 décembre 2009

B. 4202. On a écrit les nombres de 1 à 2009 sur une feuille de papier. A la deuxième étape, on écrit sur la feuille le double de chaque nombre puis on gomme les nombres qui interviennent deux fois. On répète cette étape de telle façon qu’à l’i-ème étape on écrit le produit par i de chacun des nombres présents actuellement sur la feuille puis on gomme les nombres qui interviennent deux fois. Démontrer qu’il y aura au moins 2009 nombres sur la feuille après chaque étape.

(5 points)

B. 4203. L’une des tangentes communes de deux cercles séquants touche ces cercles en A et en B, la droite reliant leurs centres les coupe successivement en C,C',D',D. Démontrer que ABCD est un quadrilatère inscriptible dans un cercle.

(4 points)

B. 4204. Soient donnés quatre nombres strictement positifs: a, b, c, d. Parmi les produits ab, ac, ad, bc, bd, cd on connaît les valeurs de cinq, celles-ci sont 2, 3, 4, 5 et 6. Quelle est la valeur du sixième produit?

(3 points)

B. 4205. Les points A, B, C, D se déplacent dans le plan de telle façon que AD=BC=2 et AC=BD=4 soient toujours vrai et que les segments AC et BD se coupent. Comment la distance CD dépend-elle de la distance AB ?

(du recueil d’exercices de l’Université Polytechnique de Budapest)

(3 points)

B. 4206. Soit p>3 un nombre premier, k et m des nombres entiers positifs ou nuls. Montrer que p^k+p^m ne peut pas être un carré parfait.

Proposé par: Péter Kutas

(3 points)

B. 4207. Est-il vrai que chaque polygone possède un sommet à partir duquel on puisse tracer une diagonale vers un sommet non voisin le plus proche passant toujours à l’intérieur du polygone?

Proposé par: Péter Maga

(4 points)

B. 4208. Soit n un nombre entier strictement positif. Déterminer le premier chiffre se trouvant après la virgule dans le nombre

$\sum_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n}}$ .

Proposé par: Mihály Bencze (Brasov, Roumanie)

(4 points)

B. 4209. Dans le triangle à angles aigus ABC, soient A₁ et B₁les pieds des hauteurs issues de A et de B; soit M l’orthocentre du triangle. La médiane issue de B coupe la droite A₁B₁ en P. Démontrer que l’angle est un angle droit si et seulement si B₁C=3AB₁.

(4 points)

B. 4210. Pour le triangle à angles aigus de côtés a, b, c et d’aire t, l’égalité abc=a+b+c est vérifiée. Démontrer que

$1<t\le \frac{3\sqrt{3}}{4}\,.$

(4 points)

B. 4211. Montrer qu’il n’existe pas de polynôme à coefficients rationnels prenant une valeur non entière en exactement un entier. Existe-t-il un polynôme à coefficients réels ayant ces propriétés?

Proposé par: Péter Maga

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 11 décembre 2009

C. 1000. 30 personnes sont assises à une table ronde, certains sont menteurs d’autres disent la vérité. Nous savons qu’exactement un des deux voisins de chaque menteur est un menteur. Parmi les 30 personnes, 12 disent d’avoir exactement un voisin menteur, les autres affirment avoir deux voisins menteurs. Combien y a-t-il de menteurs à la table?

D’après un exercice de la région des Carpathes

(5 points)

C. 1001. Un nombre entier a deux diviseurs premiers. Le nombre de ses diviseurs est 6, leur somme est 28. Quel est ce nombre?

(5 points)

C. 1002. Déterminer les triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et dont le périmètre et l’aire sont donnés par le même nombre.

(5 points)

C. 1003. Un grossiste, qui distribue des produits d’entretien ménager et de la papeterie, possède un container d’un volume de 12 m³ pouvant accueillir 5 tonnes de marchandises. Le volume des produits d’entretien est 1 m³ par tonne, celui de la papeterie de 3 m³ par tonne. Le bénéfice sur les produits d’entretien est mille euros par tonne, sur la papeterie deux mille euros par tonne.

Au maximum combien de bénéfice le grossiste peut-il avoir en vendant un container de marchandises?

(5 points)

C. 1004. Tracer une droite d quelconque passant par le sommet A du carré ABCD. Tracer deux droites perpendiculaires à d passant par les points B et D. Soient B₁ et D₁ les points d’intersection de ses dernières avec d. Démontrer que AB₁²+AD₁²=BB₁²+DD₁².

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 11 décembre 2009

K. 217. Sur une zone de jeu munie d’une grille à carreaux, on peut placer trois types de bombes. Les bombes font exploser leurs propres cases ainsi que les cases environnantes (et leurs contenus). La figure présente les zones d’action des trois types de bombes (les nombres indiquent les emplacements et les types de bombes). Si une case explosée par une bombe contient une autre bombe, alors cette dernière explosera aussi et fera exploser d’autres cases suivant sa zone d’action. Placer sur la zone de jeu 2 de chaque type de bombes 1, 2 et 3 de telle façon qu’en faisant exploser l’une d’entre elles le plus de cases possibles explosent.

(6 points)

K. 218. Nous avons découpé un rectangle en plus petits rectangles par des lignes parallèles à ses côtés. La distance entre les lignes de découpage est variable (la figure n’est pas à l’échelle). Dans quelques rectangles, nous avons écrit la mesure de leur aire. Donner l’aire du rectangle marqué par y.

14		6	20
21
	52	39
	20			30
			40	y

(6 points)

K. 219. Nous avons pris cinq nombres entiers tous différents strictement positifs. En les multipliant deux par deux, nous avons obtenu les valeurs suivantes: 6, 10, 15, 24, 36, 42, 60, 105, 63, 252. Quels étaient ces nombres?

(6 points)

K. 220. Trouver tous les quintuples composés de nombres entiers strictement positifs (pas forcément différents) dont la somme est égale à leur produit.

(6 points)

K. 221. Sans utiliser de crème solaire, Rayondesoleil attrape un coup de soleil au bout de 12 minutes de bronzage. Au début de son bain de soleil, Rayondesoleil s’est mis de la crème solaire de facteur de protection 12 non résistante à l’eau puis elle a pris une douche. Pour le reste du temps elle s’est mis de la crème solaire de facteur de protection 20. Elle a ainsi pu rester au soleil pendant 208 minutes sans attraper un coup de soleil. Combien de minutes a-t-elle passé au soleil en utilisant l’une et l’autre crème? (Le facteur de protection indique la fraction des rayons nocifs [UV-B] arrivant sur la peau à travers la crème, c’est à dire par exemple la crème de facteur 20 laisse passer sur la peau un vingtième des rayons arrivant sur le corps.)

(6 points)

K. 222. La figure ci-dessous présente les patrons de quatre cubes. Nous avons tracé des lignes sur certaines faces de chaque cube, ces lignes sont visibles sur les patrons. (Aucune de ces lignes ne passe sur des arêtes des cubes.) Sur quel cube l’ensemble des lignes tracées formera-t-il une ligne brisée continue fermée?