Untitled Document

Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

Untitled Document

Commander

KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

octobre 2009.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 10 novembre 2009

A. 485. Soit O le centre de la sphère circonscrite du tétraèdre ABCD. Soient P, Q et R des points intérieurs des arêtes AB, AC et AD. Soient K, L, M et N les centres de gravité des triangles CDP, DBQ, BCR et PQR. Démontrer que si le plan PQR est tangent à la sphère KLMN alors OP=OQ=OR.

(5 points)

A. 486. Notons par $\nu$ (n) l’exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de n!. Montrer alors que pour des nombres entiers strictement positifs quelconques a et m, il existe un nombre entier n>1 tel que $\nu(n) \equiv a \pmod{m}$ .

(5 points)

A. 487. Soient x, y, z des nombres strictement positifs tels que xyz $\ge$ 1. Démontrer que

$\frac{x}{x^3+y^2+z}+ \frac{y}{y^3+z^2+x}+ \frac{z}{z^3+x^2+y}\le 1.$

Proposé par: Tuan Le (Anaheim, Californie, USA)

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 10 novembre 2009

B. 4192. On a écrit les nombres de 1 à 2009 sur une feuille de papier. A la deuxième étape, on écrit sur la feuille le double de chaque nombre puis on gomme les nombres qui interviennent deux fois. On répète cette étape de telle façon qu’à l’i-ème étape on écrit le produit par i de chacun des nombres $1,2,\ldots,2009$ puis on gomme les nombres qui interviennent deux fois. Combien y aura-t-il de nombres sur la feuille après la 2009. étape?

(4 points)

B. 4193. Parmi un million de billets de loto, dont les numéros de série vont de 000000 à 999999, un groupe d’amis a acheté tous les billets – considérés par eux comme « chanceux » – dont les numéros de série $\overline{abcdef}$ satisfont la relation

af+be+cd=100.

Montrer que la somme des numéros de série des billets restants est divisible par 1001.

(4 points)

B. 4194. Considérer un triangle rectangle en son sommet C. La bissectrice et la hauteur passant par C coupent le cercle circonscrit aux points D et E. Parmi les deux côtés opposés aux angles aigus, soit b le côté supérieur ou égal à l’autre. Montrer que la longueur de la ligne brisée CDE est égale à $b\sqrt{2}$ .

(4 points)

B. 4195. Les longueurs des hauteurs d’un triangle sont 10, 12 et 15. Donner les longueurs de ses côtés.

Proposé par: János Pataki (Budapest)

(3 points)

B. 4196. Soit n un nombre entier strictement positif. Déterminer le premier chiffre situé après la virgule dans le nombre

$\sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{n}$

(3 points)

B. 4197. Montrer que si pour les côtés d’un triangle on a 2b²=a²+c², alors, avec les notations habituelles, pour ses angles correspondants

$2\mathop{\rm ctg} \beta = \mathop{\rm ctg} \alpha + \mathop{\rm ctg} \gamma.$

(3 points)

B. 4198. On dessine les trois segments déterminés par les milieux des côtés de la base d’un tétraèdre régulier. On relie le milieu de chacun de ces segments aux sommets de la face latérale parallèle à ce segment. Quelle fraction du volume du tétraèdre le volume de la partie commune des trois tétraèdres ainsi obtenus représente-t-il?

(4 points)

B. 4199. On appelle triangulation d’un ensemble de points A dans le plan une décomposition de l’enveloppe convexe de A en triangles sans recouvrement dans laquelle les sommets de chaque triangle sont des points de A et aucun triangle ne contient aucun autre point de A que ses sommets. Démontrer que deux triangulations quelconques de l’ensemble A contiennent un même nombre de triangles.

(4 points)

B. 4200. Pour un ensemble fini A de points du plan, soit v(A) le nombre de triangles se trouvant dans une triangulation de l’ensemble A et soit

$A+A=\{x+y\mid x,y\in A\},$

où la somme x+y est définie en assimilant les points à des vecteurs grâce à une origine. Démontrer que

v(A+A) $\ge$ 4v(A).

Proposé par: Imre Ruzsa (Budapest)

(5 points)

B. 4201. Montrer que l’inégalité ci-dessous est vraie pour des nombres strictement positifs a, b, c quelconques:

$\frac{ab}{a^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+3c^2} + \frac{ca}{c^2+3a^2} \le \frac{3}{4}.$

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 10 novembre 2009

C. 995. Montrer que le système d’équations

possède une solution qui ne dépend pas de la valeur du paramètre c.

(5 points)

C. 996. Soient donnés six points distincts dans le plan de telle façon qu’en choisissant quatre quelconques parmi eux, au moins trois de ces quatre soient alignés. Démontrer alors qu’au moins cinq parmi ces six points sont alignés.

(5 points)

C. 997. Démontrer que tous les quatrièmes termes de la suite Fibonacci sont divisibles par 3. (Dans la suite Fibonacci a₁=1, a₂=1 et a_n=a_n_-1+a_n_-2 pour tout $n\in \mathbb{N}$ , n $\ge$ 3.)

(5 points)

C. 998. Les points A, B, C et D se trouvent sur une droite dans cet ordre et AB=BC. Tracer deux droites perpendiculaires à AD passant par B et par C. La droite perpendiculaire à AD passant par B coupe le cercle de diamètre AD en P et en Q, la droite perpendiculaire à AD passant par C coupe le cercle de diamètre BD en K et en L. Montrer que le centre du cercle passant par P, K, L et Q est B.

(5 points)

C. 999. On joue au pile ou face de la manière suivante: On lance notre pièce quatre fois puis encore autant de fois qu’il y avait de « face » dans les quatre premiers lancers. Quelle est la probabilité d’avoir au moins cinq fois « face » parmi tous nos lancers?

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 10 novembre 2009

K. 211. Nous avons cinq abricots de tailles différentes et trois pommes de tailles différentes. Nous devons en préparer deux paquets de telle façon qu’il y ait quatre fruits dont une pomme dans chaque paquet. De combien de manières différentes pouvons-nous procéder? (Deux emballages sont différents si les répartitions des différentes sortes et de différentes tailles de fruits sont différentes.)

(6 points)

K. 212. Quatre équipes ont participé à un tournoi de foot, chaque équipe a joué une fois contre chacune de autres équipes. Les équipes ont obtenu 1 point pour un match nul, 3 points pour une victoire et 0 point pour un match perdu. L’équipe des Albatros, qui n’a perdu aucun match, a gagné le tournoi; les Brigands, qui n’ont fait aucun match nul, ont terminé en deuxième place; les Diables à Rayures, qui n’ont gagné aucun match, ont obtenu la troisième place. L’équipe des Bourdons a eu la quatrième place. (En cas d’égalité de nombres de points, l’ordre des équipes est déterminé par le score du match joué par les deux équipes l’une contre l’autre, si c’est un match nul, alors les deux équipes sont ex aequo.) Montrer que dans les conditions données, les nombres de points obtenus par les quatre équipes étaient tous différents. Pour chaque match dire si c’est un match nul ou donner le gagnant s’il ne s’agit pas d’un match nul. Justifier.

(6 points)

K. 213. Un rectangle a été découpé en neuf zones par des lignes parallèles à ses côtés. Les aires de certaines zones sont données en cm². Donner l’aire de la zone marquée par x.

(6 points)

K. 214. Soit P un point à l’intérieur du carré ABCD tel que les triangles PAB et PCD soient isométriques. Donner l’ensemble (le lieu géométrique) des points P correspondants à ces conditions.

(6 points)

K. 215. Dans un tableau de 3×3, on a écrit des chiffres différents de telle façon que les nombres à trois chiffres lus (en système à base de dix) dans les lignes de gauche vers la droite et les nombres à trois chiffres lus (en système à base de dix) dans les colonnes de haut vers le bas soient tous divisibles par 6. Parmi ces nombres, combien seront divisibles par 5?

(6 points)

K. 216. Montrer que la longueur de la médiane d’un triangle quelconque issue d’un certain sommet est plus petite que la moyenne arithmétique des côtés issus de ce même sommet du triangle.

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 10 novembre 2009