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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

mai 2009.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 17 juin 2009

A. 479. Existe-t-il un nombre entier n strictement positif divisible par 103 tel que

$2^{2n+1}\equiv2\pmod{n}?$

Exercice de concours hollandais de Hendrik Lenstra (Leiden)

(5 points)

A. 480. Supposons que chacune des racines(complexes) du polynôme p(z) de degré n à coefficients complexes soit de module 1. Montrer alors que pour un nombre réel c $\ge$ 0 quelconque les racines du polynôme

2z(z-1)p'(z)+((c-n)z+(c+n))p(z)

sont aussi de module 1.

(5 points)

A. 481. Démontrer qu’il existe un nombre infini de n pour lesquels il existe des graphes simples S₁,...,S_n tels que les affirmations suivantes soient vraies:

(a) chaque S_i est un graphe complet pair;

(b) l’union des graphes S₁,...,S_n est un graphe complet à 2n sommets;

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 17 juin 2009

B. 4172. Soit n un nombre entier strictement positif, soit k₁,k₂,k₃,...,k_n une permutation quelconque des nombres entiers allant de 1 à n. Donner la valeur maximale de l’expression à n termes suivante

${(1-k_1)}^2+{(2-k_2)}^2+{(3-k_3)}^2+\ldots+{(n-k_n)}^2$

(4 points)

B. 4173. Déterminer les quadrilatères convexes ABCD ayant un point intérieur P tel que les aires des triangles ABP, BCP, CDP, DAP soient de même mesure.

Proposé par: Péter Maga

(4 points)

B. 4174. Résoudre le système d’équations suivant dans l’ensemble des nombres réels:

(1)

4a+bc=32,

(2)	2a-2c-b²=0,

(3)	a+12b-c-ab=6.

(4 points)

B. 4175. Soient A, B, C, D des points quelconques dans le plan. Démontrer que si les cercles ABC et ABD se coupent perpendiculairement, alors il en est de même pour les cercles ACD et BCD.

(4 points)

B. 4176. Résoudre l’équation suivante:

(sin x+sin 2x+sin 3x)²+(cos x+cos 2x+cos 3x)²=1.

(4 points)

B. 4177. Les tangentes tracées en B et C au cercle circonscrit du triangle ABC se coupent au point M. La droite parallèle à AB passant par M coupe la droite AC au point N. Démontrer que AN=BN.

(4 points)

B. 4178. Démontrer que pour des nombres entiers quelconques strictement positifs n, k, le PGCD des nombres $\binom{n}{k}, \binom{n+1}{k}, \ldots, \binom{n+k}{k}$ est 1.

(un exercice du concours en souvenir de Miklós Schweitzer, 1949.)

(5 points)

B. 4179. Le sommet C d’une parabole est le centre d’un cercle passant par le foyer F de la parabole. Soient A et B les points d’intersection de la parabole et du cercle, soit E le point d’intersection de AB et de CF, soit D le point du cercle diamétralement opposé à F. Montrer que la moyenne géométrique du diamètre du cercle et de FE est égale à DE.

(3 points)

B. 4180. Montrer que la suite $a_n=\big[n \sqrt{2}\,\big]$ contient un nombre infini de puissances de 3 à exposant entier.

(5 points)

B. 4181. Les arêtes opposées d’un tétraèdre sont de même longueur et forment deux à deux un angle de même mesure. Montrer alors que le tétraèdre est régulier.

(4 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 17 juin 2009

C. 985. On a multiplié un nombre à deux chiffres par 4 puis on a écrit le nombre d’origine à la suite du résultat. Le nombre ainsi obtenu a exactement 6 diviseurs. Quel pouvait être le nombre d’origine à deux chiffres?

(5 points)

C. 986. Donner tous les nombres entiers pouvant être la mesure exprimée en degré d’un angle intérieur d’un polygone régulier.

(5 points)

C. 987. Les longueurs des côtés d’un triangle découpé d’une feuille de papier sont de 8 cm, de 10 cm et de 12 cm. On plie le côté le plus court sur le côté le plus long suivant la ligne de pliage partant du sommet commun. La feuille de papier aura alors une partie de deux couches et une partie d’une couche. Démontrer que la partie d’une couche a la forme d’un triangle isocèle.

(5 points)

C. 988. 4 voyageurs ont la grippe dans une rame de métro constituée de 6 wagons. Quelle est la probabilité que les voyageurs ayant la grippe se trouvent dans deux wagons au plus?

(5 points)

C. 989. On fabrique un dé à partir d’une sphère en découpant six pièces identiques de telle façon que chacun des six disques ainsi obtenus à la surface du dé touche ses quatre voisins. Combien de pour cent de la surface totale du dé l’aire totale des six disques représente-t-elle?

(5 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 17 juin 2009