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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

avril 2009.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 12 mai 2009

A. 476. Soit n $\ge$ 3 un nombre entier impair, soit $A=\{0,1,\ldots,n-1\}$ l’ensemble des classes de restes modulo n. Appelons ensembles hollandais les sous-ensembles B $\subset$ A non vides tels que pour tout a $\in$ A et b $\in$ B au moins une des deux expressions b+a, b-a appartienne à B. Exprimer en fonction de n le nombre d’éléments de l’ensemble hollandais de plus petite taille.

Proposé par: Gerhard Woeginger (Amsterdam)

(5 points)

A. 477. Supposons qu’avec k>1 pour les sous-graphes S₁,...,S_k du graphe complet G à 2n sommets les affirmations suivantes soient vraies:

(a) Chaque S_i est un graphe complet pair;

(b) Chaque arête de G intervient en un nombre impair de S_i.

Montrer alors que k $\ge$ n.

(5 points)

A. 478. Démontrer que si $a_1,a_2,\ldots,a_n$ sont des nombres strictement positifs et $a_1+a_2+\ldots+ a_n=1$ , alors

$a_1\cdot a_2^{2/3}+a_2\cdot a_3^{2/3}+\ldots+a_{n-1}\cdot a_n^{2/3}<\frac37\,.$

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 12 mai 2009

B. 4162. Dans une classe de 30 élèves, on distribue 60 barres de chocolat de telle façon que chacun en reçoive au moins une, mais que personne n’en ait 31. Montrer que – avant que les élèves commencent à manger leurs chocolats – il est possible de choisir un groupe dans la classe dans lequel les élèves aient au total exactement 30 barres de chocolat.

(4 points)

B. 4163. En utilisant des briques de 5×10×20 cm, on construit, sans espace vide, un parallélépipède rectangle. Montrer qu’il est possible de construire ce même objet avec les mêmes briques de telle façon que leurs arêtes de même longueur soient toutes parallèles.

(4 points)

B. 4164. Montrer que si parmi cinq segments trois quelconques peuvent former les côtés d’un triangle, alors il existe trois de ces segments avec lesquels il est possible de construire un triangle à angles aigus.

(3 points)

B. 4165. Le point d’intersection des diagonales du quadrilatère convexe ABCD est O. Démontrer que l’égalité AB²+BC²+CD²+DA²=2(AO²+BO²+CO²+DO²) est vérifiée si et seulement si les diagonales AC et BD sont perpendiculaires ou si le milieu de l’une d’entre elles est O.

Kvant

(3 points)

B. 4166. Construire sur le côté BC du triangle ABC un point D tel que les cercles inscrits des triangles ABD et ACD se touchent sur la droite AD.

(3 points)

B. 4167. Pour un entier strictement positif n, soit f(n) le nombre obtenu après avoir inversé l’ordre des chiffres du nombre n écrit à base de dix. (Donc f(2500)=52, f(1456)=6541.) Trouver les nombres entiers strictement positifs k tels que pour tout multiple n de k, k soit aussi diviseur du nombre f(n).

(5 points)

B. 4168. Soit K le centre du cercle inscrit du triangle ABC, soit F le milieu du côté AB, soit G le point où l’un des trois cercles exinscrits touche le côté AB. Démontrer que les droites CG et KF sont parallèles.

(4 points)

B. 4169. Montrer que si a, b, c sont des entiers strictement positifs différents deux à deux, alors

S=(42a+43b+43c)³+(43a+42b+43c)³+(43a+43b+42c)³

-3(42a+43b+43c)(43a+42b+43c)(43a+43b+42c)

est divisible par 128 mais n’est pas une puissance de 2.

Proposé par: Donát Nagy

(5 points)

B. 4170. Un plan coupe les arêtes AB, BC, CD et AD du tétraèdre ABCD respectivement en K, L, M et N. Montrer que

$\frac{AK}{AB} \cdot \frac{BL}{BC} \cdot \frac{CM}{CD} \cdot \frac{DN}{AD} \le\frac{1}{16}\,.$

(5 points)

B. 4171. Une bactérie peut mourir à chaque seconde avec une probabilité p ou bien elle se divise en deux bactéries identiques à l’originale avec une probabilité 1-p (les descendantes meurent ou se divisent indépendamment les unes des autres). Quelle est la probabilité de l’extinction de la bactérie?

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 12 mai 2009

C. 980. Supposons qu’il y ait relativement plus d’adolescents parmi les personnes allergiques et que chez les adolescents le nombre de sportifs soit plus élevé que la moyenne. Est-ce qu’on peut en déduire que parmi les sportifs il y aurait relativement plus d’allergiques?

(5 points)

C. 981. Dans le journal du capitaine Jack Sparrow, on a trouvé la formule suivante pour calculer la distance de l’horizon: $d=p\sqrt h$ , mais le nombre se trouvant à la place de p n’est pas bien lisible. Dans cette formule, d est la distance de l’horizon en kilomètres, h désigne en mètres la hauteur des yeux de l’observateur au-dessus du niveau de la mer. Déterminer la valeur de p pour obtenir une formule utilisable. (Prendre 6370 km pour le rayon de la Terre.)

(5 points)

C. 982. Démontrer que 5²⁰⁰⁸+4 est un nombre composé.

(5 points)

C. 983. Construire le quadrilatère ABCD, étant donné la droite BD ainsi que les points obtenus par la projection orthogonale de A sur la droite CD, de B sur la droite DA, de C sur la droite AB et de D sur la droite BC. (La discussion n’est pas demandée(sans justifier))

(5 points)

C. 984. Trois termes pas forcément consécutifs d’une suite arithmétique ayant tous ses termes strictement positifs sont a, b et c. Nous savons que

$\frac{c-b}{a}+ \frac{a-c}{b}+ \frac{b-a}{c}=0.$

Donner la raison de la suite.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 12 mai 2009

K. 205. Hansel et Gretel veulent aller à la maison de pain d’épices qui se trouve à 20 km de chez eux. Ils ont un vélo pour eux deux sur lequel une seule personne peut monter à la fois. Ils ont décidé que Hansel commence en marchant, Gretel fait du vélo jusqu’à un certain endroit où elle pose le vélo puis elle continue à pied. Quand Hansel arrive à l’endroit où se trouve le vélo, il monte dessus et roule jusqu’à la maison de pain d’épices. Hansel marche à la vitesse de 5 km/h et fait du vélo à 12 km/h, Gretel marche à la vitesse de 4 km/h et roule à vélo à 10 km/h. Combien de km Gretel doit-elle rouler à vélo pour qu’ils arrivent ensemble à la maison de pain d’épices, sachant qu’ils démarrent en même temps?

(6 points)

K. 206. Thomas et Stéphane sont des frères. Un jour, leur maman a acheté à la pâtisserie 8 gâteaux plus grands et 27 plus petits. La forme des plus grands est celle d’un cube de 3 cm de côté, les plus petits sont comme un cube de 2 cm de côté. Chaque gâteau a 5 faces couvertes par une couche de sucre caramelisé de même épaisseur, leurs faces de dessous n’étant pas couvertes. Stéphane et Thomas voudraient partager ces gâteaux de telle façon que chacun d’eux reçoive des gâteaux de même volume total, que chacun reçoive des deux sortes, et ils se mettent d’accord qu’ils ne découpent aucun gâteau.

a) Montrer qu’une répartition avec ces conditions est impossible.

b) Comme ils se sont rendu compte qu’ils ne pouvaient pas répartir les gâteaux équitablement selon la quantité de pâte, ils se sont mis d’accord de les partager de façon à recevoir chacun la même quantité de sucre caramelisé. (de même, ils ne découpent aucun gâteau, et chacun doit recevoir des deux sortes.) Donner toutes les répartitions possibles.

(6 points)

K. 207. Dans un couloir rectangulaire ayant une aire de 14,4 m², on a posé des carreaux rectangulaires de même taille de telle façon qu’en avançant en longueur, dans toutes les cinquièmes lignes les carreaux ont été posés tournés de 90 degrés. On a dû ainsi poser 15 lignes de carreaux, sans couper. Plus tard on a remarqué qu’en posant les carreaux partout comme dans les cinquièmes lignes, il ne faut pas couper non plus mais il y aura ainsi 18 lignes. Quelles pouvaient être les dimensions des carreaux, sachant que leurs côtés exprimés en cm sont des nombres entiers?

(6 points)

K. 208. a) Dans un système orthonormé, on a tracé le cercle de centre O de rayon 5 unités. Combien de points de grille se trouvent-ils sur ce cercle? (Un point de grille est un point dont les deux coordonnées sont des nombres entiers.)

b) Donner un nombre entier r tel que sur le cercle de centre O de rayon r se trouvent plus de 14 points de grille. Montrer aussi que la valeur r donnée satisfait aux conditions.

(6 points)

K. 209. Un vendeur de glaces voudrait rajouter des plaques de bois autour de sa cabine pour la protéger du soleil. L’apparence de la cabine après les travaux est illustrée par la figure, le dessin de droite présentant sa vue d’en haut. Chaque plaque de bois forme un angle de 45^o avec le mur vertical correspondant. La base de la cabine est un carré de côté 3 m. Les plaques arrivent à 1 m de distance par rapport aux murs, mesurée perpendiculairement à ces derniers. De combien de m² de plaque de bois le vendeur a-t-il besoin pour effectuer ces travaux?

(6 points)

K. 210. La figure présente un détail du petit vélo de Doriane. Le centre de la roue arrière est A, le bras TK (à l’extrémité duquel se trouve une des deux pédales) tourne autour du point T. Considérons les points A, K, T comme coplanaires. La longueur de TK est de 20 cm, celle de AT est de 48 cm. Combien de positions le point K a-t-il, pendant que le bras TK tourne autour de T, telles que la distance AK donnée en cm soit un nombre entier, et que AKT soit un triangle à angles aigus?