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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

mars 2009.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 15 avril 2009

A. 473. Montrer que les triangles sphériques de même aire peuvent être découpés et transférés les uns dans les autres, c’est à dire deux triangles sphériques quelconques de même aire peuvent être découpés en un nombre fini de polygones sphériques de telle façon que les deux découpages comportent un même nombre de pièces et que les pièces correspondantes dans ces deux découpages soient isométriques. (Polygone sphérique : polygone dont les « segments frontières » sont inclus dans des grands cercles(cercles dont le centre est celui de la sphère.))

(5 points)

A. 474. Soit le point Q un point intérieur du polygone convexe $P_1P_2\ldots P_n$ . Démontrer que

(Les indexes sont compris modulo n, c’est à dire P₀=P_n et P_n₊₁=P₁.)

(5 points)

A. 475. Nous avons attribué un nombre réel à chacun des n sommets d’un polygone de telle façon que la sommes des n nombres soit strictement positive. Si trois nombres consécutifs sont désignés par x, y et z, et nous avons y<0, alors ceux-ci peuvent être remplacés dans l’ordre par les nombres x+y, -y, z+y. Nous répétons cette opération tant qu’il y a parmi les nombres au moins un négatif.

Déterminer si cette procédure peut se terminer dans tous les cas en un nombre fini de pas?

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 15 avril 2009

B. 4152. Soient donnés n sous-ensembles distincts des nombres $1, 2, 3, \ldots, n$ . Montrer qu’il existe un nombre tel qu’en enlevant celui-ci à chacun des sous-ensembles, les ensembles restants seront toujours distincts.

(4 points)

B. 4153. Soit O le centre du cercle circonscrit du triangle ABC, soit M son orthocentre. Soient E et F deux points des demi-droites AC et AB tels que AE= AO et AF=AM. Démontrer alors que EF=AO.

(4 points)

B. 4154. Un problème classique: dans une ville en forme de cercle, 12 gardes sont en service. A midi, chacun d’eux a commencé à marcher à partir de son poste de garde, dans une direction ou dans l’autre, à la vitesse qui lui permettrait de faire le tour de la ville en une heure. Si deux gardes se rencontrent, ils font demi-tour et continuent à marcher à la même vitesse dans le sens contraire. Montrer qu'exactement à minuit chaque garde sera à son propre poste.

(5 points)

B. 4155. Résoudre l’équation suivante:

a²b²+b²c²+c²a²+a²+b²+c²+4(a+b+c)+12=6abc+4(ab+bc+ca).

(5 points)

B. 4156. Résoudre l’équation suivante:

$\mathop{\rm tg} x + \mathop{\rm ctg} x + 1 = \cos \left(x +\frac{\pi}{4}\right).$

(3 points)

B. 4157. Résoudre l’équation suivante: [x]=x⁴-2x².

([x] désigne la partie entière de x)

D’après un exercice de concours de Transsylvanie

(4 points)

B. 4158. Soit F le milieu du segment AB de la face ABCD d’un cube. Découper le cube par un plan passant par le segment CF de telle façon que le rapport des volumes des parties contenant les sommets B et D soit égal à 1:2. Donner alors la mesure de l’angle déterminé par ce plan et la face ABCD.

(5 points)

B. 4159. Dans le triangle ABC, on a a=2b. Soient donnés les sommets A et B et une droite passant par le sommet C. Construire le triangle ABC.

(3 points)

B. 4160. Existe-t-il dans le plan un ensemble de points borné possédant un nombre infini d’axes de symétrie mais pas de centre de symétrie?

(5 points)

B. 4161. Supposons qu’en enlevant un nombre fini de membres positifs de l’ensemble des nombres naturels on obtienne un ensemble S fermé pour l’addition. Soit k un élément de S. Combien l’ensemble S a-t-il d’éléments tels qu’en leur soustrayant k on obtienne des nombres n’appartenant pas à S?

(3 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 15 avril 2009

C. 975. Dans le triangle ABC, la hauteur passant par C coupe le côté AB en T. Tracer à l’extérieur des côtés AC et BC les triangles CAD et CBE rectangles en A et en B. On sait de plus que AD=TB et BE=TA. Démontrer que $CDE\sphericalangle =CED\sphericalangle$ .

(5 points)

C. 976. Donner le plus petit intervalle contenant le produit de la somme et de la somme des réciproques de trois nombres strictement positifs.

(5 points)

C. 977. Un entrepreneur a emprunté 12 millions d’euros à un taux d’intérêt annuel fixe de 8%. Donner le montant de ses dettes dans 10 ans sachant qu’il peut rembourser 1,2 millions d’euros par an.

(5 points)

C. 978. Dans un café, six personnes sont assises au total à trois tables de deux places. Parmi elles, trois boivent du café et trois du thé. Quelle est la probabilité qu’il existe une table où les deux personnes boivent du thé?

(5 points)

C. 979. Sur un ballon rouge, il y a trente taches blanches rondes (en forme de chapeau sphérique). Le périmètre du cercle principal du ballon est de 54 cm, le périmètre des taches est de 11 cm. Donner le pourcentage de la surface du ballon recouvert par les taches.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 15 avril 2009

K. 199. Thomas ordonne des nombres à cinq chiffres selon une règle qu’il a inventée lui-même. D’abord il met les nombres en ordre décroissant selon leurs derniers chiffres. Si le dernier chiffre est le même pour deux nombres, alors celui dont le premier chiffre est plus petit devancera l’autre. Si ceux-ci sont égaux aussi, alors les nombres sont mis en ordre décroissant selon le produit des 4 chiffres intérieurs. (Thomas n’ordonne que des nombres pouvant être rangés sans ambiguïté selon ces règles.) Thomas a écrit sur une feuille six nombres ordonnés selon les règles ci-dessus mais quelques chiffres se sont effacés sur sa feuille (on les a remplacés par des lettres), on peut lire donc: 42348, A8318, 56B48, 8653C, 46585, D8655. En réfléchissant aux différentes possibilités, on donne une idée pour les six nombres possibles écrits par Thomas (cette idée émise donne une seule valeur pour chaque nombre). Quelle est la chance de trouver ainsi tous les nombres de Thomas?

(6 points)

K. 200. A un tournoi de tennis, il y a 64 concurrents et chacun joue contre les autres (il n’y a qu’un jeu par match). Celui qui a été battu trois fois est éliminé. Celui qui reste seul à la fin sera le vainqueur. Donner le nombre minimum et maximum de matchs pouvant avoir lieu dans ce tournoi.

(6 points)

K. 201. De combien de manières différentes la figure ci-dessous nous permet-elle de lire 2009, sachant que d’une case nous ne pouvons passer que dans une case voisine par une arête?

(6 points)

K. 202. Multiplier le nombre 99 999 989 999 par lui-même. Sans calculatrice, déterminer le nombre de chiffres de 9 intervenant dans le résultat.

(6 points)

K. 203. On sait d’une fonction que pour tout x $\ne$ 0

$f\left(\frac{1}{x}\right)-3f(x)=x.$

Déterminer la valeur de f(2).

(6 points)

K. 204. Nous voudrions dessiner la figure suivante. Quel sera le rapport entre l’aire de la zone grisée et celle de la zone non grisée? (Les courbes visibles sur la figure sont des demi-cercles, les deux points d’intersection divisent le diamètre du cercle en trois segments de même longueur.)