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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

février 2009.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 15 mars 2009

A. 470. Dans le triangle ABC, A₁, B₁et C₁ désignent les projetés orthogonaux des sommets sur les côtés opposés correspondants. Soit P la projection orthogonale de C₁ sur la droite A₁B₁, soit Q un point sur la droite A₁B₁ tel que AQ=BQ. Démontrer que $PAQ\sphericalangle =PBQ\sphericalangle =PC_1C\sphericalangle$ .

(5 points)

A. 471. Montrer que si chaque sommet d’un graphe simple est de degré 3 au moins alors le graphe contient une boucle dont la longueur n’est pas divisible par 3.

Exercice de concours russe

(5 points)

A. 472. Appelons une suite finie de polynômes à coefficients entiers (p₁(x),...,p_k(x)) euclidienne si des polynômes à coefficients entiers q₁(x),...,q_k(x) existent tels que $d(x)=q_1(x)p_1(x) +\ldots +q_k(x)p_k(x)$ soit un diviseurs commun de p₁(x),...,p_k(x), c’est à dire que des polynômes à coefficients entiers r₁(x),...,r_k(x) existent tels que p_i(x)=r_i(x)d(x) pour tout 1 $\le$ i $\le$ k.

Démontrer que si parmi les polynômes à coefficients entiers p₁(x),...,p_n(x) deux quelconques forment un couple euclidien, alors la suite $\big(p_1(x),\ldots,p_n(x)\big)$ est aussi euclidienne.

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 15 mars 2009

B. 4142. La boite d’un puzzle de ,,850 pièces'' contient en réalité 851 pièces. Chaque pièce est identique à une des 5 pièces présentées par la figure. Combien de pièces de type (E) y a-t-il dans la boite?

(4 points)

B. 4143. Deux sommets voisins d’un carré se trouvent sur un cercle de rayon unitaire. Donner les distances minimales et maximales possibles des deux autres sommets par rapport au centre du cercle.

(4 points)

B. 4144. Démontrer l’inégalité ci-dessous:

2(x⁴+x²y²+y⁴) $\ge$ 3xy(x²+y²).

(3 points)

B. 4145. La longueur de la base la plus longue du trapèze symétrique ABCD est au plus le double de la longueur de la plus petite base. Soit P un point à l’intérieur du trapèze. Démontrer qu’il existe un quadrilatère dont les sommets se trouvent sur les côtés du trapèze et dont les côtés ont pour longueur dans un certain ordre sont AP, BP, CP et DP.

(5 points)

B. 4146. Montrer que l’équation 5x²+3y²=1 n’a pas de solution dans l’ensemble des nombres rationnels.

(4 points)

B. 4147. Démontrer que chaque triangle rectangle peut être complété en un rectangle en traçant sur ses côtés des triangles rectangles semblables entre eux.

(3 points)

B. 4148. Résoudre le système d’équations suivant:

x³y+xy³=10,

x⁴+y⁴=17.

(4 points)

B. 4149. Soient A₁, B₁, C₁, respectivement, les points obtenus par la projection orthogonale d’un point sur les droites des hauteurs passant par les sommets A, B, C d’un triangle. Démontrer qu’il existe un et un seul point dans le plan du triangle tel que les segments AA₁, BB₁, CC₁ soient de même longueur et que dans ce cas, la longueur de ces segments est égale à la longueur du diamètre du cercle inscrit dans le triangle.

D’après un exercice Kvant

(5 points)

B. 4150. On a échangé entre eux deux chiffres différents d’un nombre à au moins 100 chiffres non divisible par dix; les nombres premiers de la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre ainsi obtenu sont les mêmes que ceux du nombre d’origine. Donner un exemple pour un tel nombre.

(5 points)

B. 4151. Soit $\alpha$ = $\pi$ /14. Donner la valeur de l’expression sin $\alpha$ ^.sin 3 $\alpha$ ^.sin 5 $\alpha$ .

(4 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 15 mars 2009

C. 970. Florence, Suzanne et Julie ont décidé de résoudre tous les problèmes de leur recueil d’exercices. Florence travaille sur a, Suzanne sur b, Julie sur c exercices par jour. (Une seule personne travaille sur chaque problème.) Si Florence travaillait sur 11 fois plus d’exercices par jour, Suzanne 7 fois plus et Julie 9 fois plus, alors elles termineraient en 5 jours; Si Florence travaillait sur 4 fois plus d’exercices par jour, Suzanne 2 fois plus et Julie 3 fois plus, alors elles termineraient en 16 jours. En combien de jours auront-elles résolu tous les problèmes?

(5 points)

C. 971. Est-ce qu’il existe une figure plane, à part le carré de côté unitaire, dont l’aire est 1 et le périmètre est 4?

(5 points)

C. 972. Dans une entrée d’immeuble, il y a 10 boîtes aux lettres. Un distributeur met des prospectus dans 5 boîtes aux lettres, un dans chacune. Plus tard, un autre distributeur met aussi des prospectus dans 5 boîtes aux lettres, un dans chacune. Quelle est la probabilité qu’au moins 8 boîtes aux lettres contiennent un ou plusieurs prospectus?

(5 points)

C. 973. Résoudre l’équation 1+cos 3x=2cos 2x.

(5 points)

C. 974. Soit L un point à l’extérieur de la diagonale BD du trapèze ABCD inscriptible dans un cercle, du côté du point D, tel que DL=AD. Soit K un point intérieur de la diagonale AC tel que CK=BC. Démontrer que les aires des rectangles construits avec les segments AB, CD et AK, BL sont égales.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 15 mars 2009

K. 193. Quatre filles et quatre garçons sont allés ensemble au bal. A la valse, chacun des garçons a dansé avec une des filles (chaque fille ne danse qu’avec un seul garçon), puis, au tango, ce sont les filles qui choisissent leurs partenaires, chacune des filles a dansé avec un des garçons (chaque garçon ne danse qu’avec une seule fille). Au cours des deux danses, aucun des couples n’a dansé ensemble deux fois. Nous avons les informations suivantes:

a) Quentin n’a valsé qu’avec la fille qui a dansé le tango avec Daniel.

b) Adrien a invité à valser la fille qui dansait le tango avec celui qui valsait avec Evelyne.

c) Bertrand a valsé avec la fille qui dansait le tango avec le partenaire de valse de Marie.

d) Gaby n’a pas dansé le tango avec Bertrand.

e) Hélène a dansé le tango avec un garçon qui n’a pas valsé avec Gaby.

Après les deux danses, à la demande du maître de danse, chacun(e) se mettait derrière la personne(regardait le dos de la personne) qu’il(elle) a invité(e) à danser. Les quatre garçons et les quatre filles ont formé ainsi un grand cercle.

Qui valsait avec qui et qui dansait le tango avec qui?

(6 points)

K. 194. Dans un nombre, on a déplacé la virgule d’une position vers la gauche, puis on a additionné au nombre ainsi obtenu les $\frac{3}{5}$ ième du nombre d’origine. Le résultat de l’addition était 1406,3. Quel était le nombre d’origine?

(6 points)

K. 195. Le triangle ABC est isocèle rectangle en A, la longueur de AB est de 4 cm. On a tracé le cercle de centre C passant par A, celui-ci coupe l’hypothénuse en E. De même, on a tracé le cercle de centre B passant par A, celui-ci coupe l’hypothénuse en D. Donner la mesure de l’aire de la zone foncée de la figure.

(6 points)

K. 196. Dans un cerf volant, l’angle opposé à l’angle de 60^o mesure 90^o et son axe de symétrie est de 10 cm de long. Donner le périmètre du cerf volant.

(6 points)

K. 197. Résoudre l’équation

x^.|3-|x+5||=x

(6 points)

K. 198. Les habitants d’une planète n’ont pas quatre mais cinq opérations de base. L’addition, la multiplication, la soustraction et la division sont pareilles que chez nous mais ils ont aussi une opération particulière qu’ils notent par le signe @. On ne sait pas ce que cette opération fait mais on a pu découvrir qu’il est vrai pour tout x et y :

(a) $x \mathrel{@} 0 = x$ ,