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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

janvier 2009.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 12 février 2009

A. 467. Les droites des côtés AD et BC du trapèze ABCD circonscrit à un cercle se coupent au point R. Le centre du cercle inscrit est I, le cercle touche le côté AB en P, le côté CD au point Q. La droite perpendiculaire à PR passant par P coupe les droites des bissectrices AI et BI en A₁ et en B₁. De même, la droite perpendiculaire à QR passant par Q coupe les droites CI et DI en C₁ et en D₁. Montrer que A₁D₁=B₁C₁.

Proposé par: Géza Bohner, Budapest

(5 points)

A. 468. Soient donnés deux triangles. Leurs côtés sont a, b, c, et A, B, C; leurs aires sont t et T. Démontrer que

-a²A²+a²B²+a²C²+b²A²-b²B²+b²C²+c²A²+c²B²-c²C² $\ge$ 16tT.

(5 points)

A. 469. Soient 0 $\le$ k $\le$ n et m $\ge$ 2 des nombres entiers. Considérons les sous-ensembles à k éléments de l’ensemble $\{1,2,\ldots,n\}$ et dans chacun de ces sous-ensembles le reste de la division de la somme des éléments par m. Démontrer que si chacun des restes par ces divisions par m intervient un même nombre de fois, c’est à dire exactement $\frac{\binom{n}{k}}{m}$ fois, alors n $\ge$ m.

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 12 février 2009

B. 4132. Laurence et Florence jouent sur un échiquier de 2008×2008 le jeu suivant. Laurence choisit en pensée quelques cases de l’échiquier. Ensuite elle écrit sur chaque case le nombre de cases faisant partie de la sélection parmi celles en contact par un côté ou par un sommet avec la case en question, y compris cette dernière. En se basant sur ces informations, est-ce que Florence peut déterminer les cases choisies par Laurence? Que dire si elles jouent sur un échiquier de 2009×2009?

Proposé par: Dániel Nagy

(5 points)

B. 4133. Les points P et Q sont placés sur les côtés BC et CD du rectangle ABCD de telle façon que le triangle APQ soit équilatéral. Démontrer que A_AQD+A_ABP=A_PCQ (où A_AQDdésigne l’aire du triangle AQD).

(3 points)

B. 4134. Pour une suite $a_1<a_2<\ldots<a_k$ , soit $t_3(a_1,\ldots,a_k)$ le nombre de suites arithmétiques à trois termes pouvant être choisis parmi les termes de la suite. Montrer que $t_3(a_1,\ldots,a_k)\le t_3(1,2,\ldots,k)$ .

(4 points)

B. 4135. Soit M un point à l’intérieur du carré ABCD tel que $DCM\sphericalangle= MAC\sphericalangle=25^{\circ}$ .Donner la mesure de l’angle ABM.

(4 points)

B. 4136. Soit donné un quadrilatère convexe. Construire un losange dont les sommets soient sur les côtés du quadrilatère et ses côtés soient parallèles aux diagonales du quadrilatère.

(3 points)

B. 4137. Soit n un nombre entier strictement positif. Montrer que

$\sum_{0\le k<n/2} \binom{n}{2k+1} 13^k$

est divisible par 2ⁿ^-1.

(5 points)

B. 4138. Résoudre l’équation suivante:

$\sqrt{2}\cdot (\sin x+\cos x)= \mathop{\rm tg} x+ \mathop{\rm ctg} x.$

(4 points)

B. 4139. Soient BE et CF deux hauteurs du triangle ABC à angles aiguës. La droite EF coupe le cercle circonscrit en P et en Q. Démontrer que AP=AQ.

(4 points)

B. 4140. Sur le cercle circonscrit du quadrilatère ABCD, E est le milieu de l’arc BC, F est le milieu de l’arc DA. Soit P le centre du cercle inscrit du triangle ABC, soit Q le centre du cercle inscrit du triangle ABD. Montrer que PQ est parallèle à EF.

(4 points)

B. 4141. Démontrer que pour des nombres réels a, b, c quelconques

(a²+2)(b²+2)(c²+2) $\ge$ 3(a+b+c)².

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 12 février 2009

C. 965. Le motif de la série de figures est constitué de carrés noirs, blancs et gris.

Sur combiendième figure pourrait-on compter 2112 carrés gris?

(5 points)

C. 966. Sur les plaques d’immatriculation hongroises, un même chiffre peut se répéter. Quelqu’un a affirmé après réfléxion que selon lui près de 3 véhicules sur 10 ont une telle immatriculation. A-t-il raison?

(5 points)

C. 967. Résoudre le système d’équations ci-dessous:

3x²-xy=1,

9xy+y²=22.

(5 points)

C. 968. Le carré ABCD est découpé par des droites parallèles à ses côtés, comme illustré par la figure, en deux carrés NPLD, KBMP et en deux rectangles isométriques.

Soit P le point d’intersection de KL et de MN, soit Q le point d’intersection de BN et de DK. Montrer que les points C, P et Q sont alignés.

(5 points)

C. 969. L’angle d’ouverture d’un compas doit être deux fois plus grand quand on veut tracer un cercle de rayon 6,5 cm que quand on veut tracer un cercle de rayon 3,3 cm. Donner la longueur de la tige du compas.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 12 février 2009

K. 187. Remplir les cellules de la figure de telle façon que la somme des nombres écrits dans trois petits hexagones quelconques étant en contact en un sommet soit toujours la même.

(6 points)

K. 188. On a construit un triangle ABC isocèle ayant pour base AB. On a marqué un point C₁sur la droite (AB ) situé du côté du point B, à l’extérieur du segment AB tel que BC₁=BC. On a tracé ensuite la droite d perpendiculaire à AB passant par A. Sur cette droite d, on a marqué un point C₂situé dans le demi-plan contenant le sommet C, tel que AC₂=AC. On a constaté enfin que les points C₁, C et C₂ sont alignées. Déterminer les angles du triangle ABC.

(6 points)

K. 189. A un cours de maths, les élèves devaient résoudre cinq sortes d’exercices, trois de chaque sorte. Pour la bonne solution d’un exercice, les élèves reçoivent 1 point s’ils n’ont résolu aucun autre exercice de cette sorte. S’ils ont deux bonnes solutions d’une certaine sorte d’exercices, alors ils obtiennent pour celles-ci 4 points par exercice; s’ils ont résolu les trois exercices d’une certaine sorte, alors ils obtiennent pour ceux-ci 9 points par exercice.

Les élèves travaillent en groupe. A la fin, chaque groupe a obtenu un nombre de points différent de celui des autres, mais le nombre de points de chaque équipe était divisible par 3. Combien de groupes au plus pouvaient-ils participer à ces résolutions d’exercices?

(6 points)

K. 190. A un vote, 55% des garçons et 5% des filles ont voté oui et ainsi, la majorité a voté oui. Au moins combien de garçons ont-ils voté non?

(6 points)

K. 191. On examine deux sortes d’essuie-glace; dans les deux cas, un balai de 31 cm de long est fixé sur une tige de 31 cm de long laquelle peut tourner de 90^o autour d’un axe en nettoyant le par-brise. Pour le premier type, la fixation est rigide, le balai formant au départ un angle de 45^oavec le bas du par-brise et au cours du nettoyage, le balai et la tige ont toujours la même direction. La fixation du deuxième type est souple et au cours du nettoyage le balai est toujours perpendiculaire au bas du par-brise. Quel type d’essuie-glace balaye-t-il une plus grande aire?

(6 points)

K. 192. Anne, Betty et Corinne ont rempli un test de six questions avec des réponses possibles vrai-faux (chacune a répondu aux mêmes six questions). Les réponses de Anne dans l’ordre: F, F, V, V, V, V; les réponses de Betty dans l’ordre V, F, F, V, V, V, les réponses de Corinne dans l’ordre V, V, F, F, V, V. Anne n’avait que deux mauvaises réponses, Betty n’avait que deux bonnes réponses. Combien de bonnes réponses Corinne peut-elle avoir?

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 12 février 2009