B. 4122. Parmi les cases d’un échiquier de
5×5 constitué de cases de côtés unitaires, 7 sont rouges, 18 sont bleues. Deux
des cases rouges se trouvent au bord de l ‘échiquier. Les segments séparant
deux cases rouges voisines sont aussi coloriés en rouge. De même, les segments
séparant deux cases bleues voisines sont aussi coloriés en bleu. Les autres
segments – y compris les bords du tableau – sont noirs. On a ainsi 35 lignes
noires au total. Donner le nombre de segments rouges.
(4 points)
B. 4123. Donner le lieu géométrique des
points dans le plan tels que la somme des carrés de leurs distances par rapport
à deux points donnés soit constante.
(3 points)
B. 4124. Nous avons calculé la racine
carrée de chaque nombre à quatre chiffres et dans les cas où le résultat
n’était pas un nombre entier, nous avons arrondi à l’entier le plus proche.
Vers le haut ou vers le bas avons-nous arrondi le plus souvent?
(3 points)
B. 4125. Soient donnés deux points à
l’intérieur d’un angle de 45o. Construire un triangle isocèle de
telle façon que sa base se trouve sur un côté de l’angle, son troisième sommet
soit sur l’autre côté de l’angle et que chacun des deux points donnés soit un
point de l’un et de l’autre côté du triangle.
(4 points)
B. 4126. Soit AB une corde d’un cercle. Soit e une tangente du cercle tracée en un point P du cercle différent de A et de B. Tracer les droites
perpendiculaires à e passant par
A et par B. Tracer la droite perpendiculaire à AB, passant
par P. Démontrer que la longueur du segment partant de P et
perpendiculaire à la corde AB est la moyenne géométrique des longueurs des
segments perpendiculaires à la tangente et partant de A et de B.
(4 points)
B. 4127. Résoudre l’équation x5-x3y2-x3y-x2y3+y2=0 dans l’ensemble des nombres entiers.
Proposé par: Ákos Somogyi
(4 points)
B. 4128. Soient P et Q
deux points distincts appartenant à la diagonale AC d’un parallélogramme ABCD. La droite
passant par P et parallèle à AB coupe les côtés BC et AD en K et en L; la droite passant par Q et parallèle à BC coupe les côtés AB et CD en M et en N.
Montrer que les triangles PNM et
QKL ont même aire.
(3 points)
B. 4129. La suite (an) est
définie par récurrence de la manière suivante: a0=0, a1=1,
et pour n>1 an=2an-1+an-2.
Démontrer que si 
,
alors 
.
(5 points)
B. 4130. Soit donné un nombre fini de
segments sur une droite. Démontrer qu’en réorganisant ces segments - de telle
façon que les milieux de deux segments quelconques se rapprochent - la longueur
totale de l’union des segments n’augmente pas.
(5 points)
B. 4131. On pose une souris dans un cube
situé à un coin d’une grille cubique de 3×3×3; dans le cube situé au centre de
la grille, on place un morceau de fromage. La souris se promène en cherchant le
fromage: à chaque pas, elle passe au hasard dans un des cubes voisins. En
moyenne en combien de pas trouvera-t-elle le fromage?
(5 points)
P(H)
telles que pour des ensembles
Y![\big[\big(\root3\of{28}-3\big)^{-n}\big]](./ccenmath20081201_fichiers/image004.gif){kind=small}
