Untitled Document

Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

Untitled Document

Commander

KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

novembre 2008.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 12 décembre 2008

A. 461. La sphère tracée à la face ABC du tétraèdre ABCD touche la face ABC au point P ; la sphère tracée à la face ABD touche la face ABD au point Q. Démontrer que .

(5 points)

A. 462. (Cet énoncé sera modifié et reproposé en décembre) Soit p un nombre premier et a un nombre entier strictement positif. Montrer que

$\sum_{k=0}^{p-2} {(-1)}^k a^{k^2}$

est divisible par p si et seulement si il existe un nombre entier k strictement positif impaire tel que la division de a^k par p donne 0 ou 1 comme reste.

(5 points)

A. 463. Soient a₁<a₂<...<a_n et b₁<b₂<...<b_n des nombres réels. Montrer que

$\det\left(\matrix{ e^{a_1b_1} & e^{a_1b_2} & \dots & e^{a_1b_n} \cr e^{a_2b_1} & e^{a_2b_2} & \dots & e^{a_2b_n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr e^{a_nb_1} & e^{a_nb_2} & \dots & e^{a_nb_n} \cr} \right) >0.$

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 12 décembre 2008

B. 4112. Sur une table de billard rectangulaire ABCD, on pousse une boule à partir du sommet A en direction de la bissectrice; après avoir rebondi sur les côtés CD, BC et AB, celle-ci entre en collision centrale avec la boule se trouvant au milieu du rectangle. Dans quelle(s) autre(s) direction(s) peut-on pousser la boule à partir du sommet A pour que celle-ci entre en collision centrale avec la boule se trouvant au milieu du rectangle, après avoir rebondi sur trois côtés différents?

(4 points)

B. 4113. Démontrer que si a, b, c, d sont des nombres entiers et a+b+c+d=0, alors 2(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)+8abcd est un nombre carré parfait.

(4 points)

B. 4114. D’une feuille rectangulaire de dimensions 11x7, nous avons découpé quatre carrés isométriques comme présenté par la figure.

Donner le pourcentage de l’aire du rectangle correspondant à la chute.

(3 points)

B. 4115. Pour quels entiers k strictement positifs le nombre 1 fera partie des termes de la suite (a_n), sachant que a₁=k, et que $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$ , si a_n est pair, et a_n₊₁=a_n+5, si a_n est impair?

(5 points)

B. 4116. Résoudre, pour chaque entier n strictement positif, l’équation suivante:

cosⁿx-sinⁿx=1

(4 points)

B. 4117. Trois droites concourantes au point P sont coupées par deux autres droites, dans l’ordre, aux points A, B, C et A', B', C'. Démontrer que

$\frac{AA'}{A'P}\,\overrightarrow{BC} +\frac{BB'}{B'P}\,\overrightarrow{CA} +\frac{CC'}{C'P}\,\overrightarrow{AB}=\mathbf{0},$

où les quotients doivent être compris signés.

(5 points)

B. 4118. Est-il possible de décomposer le disque fermé en deux ensembles de points disjoints isométriques? (Le disque fermé contient aussi les points du cercle constituant son contour.)

(5 points)

B. 4119. Montrer que la représentation graphique de la fonction

$x\longmapsto \frac{9x+7}{3x+12}$

est symétrique par rapport au point (-4;3).

D’après la proposition de Sándor Kiss(Szatmárnémeti)

(3 points)

B. 4120. On appelle feuille les formes géométriques obtenues comme l’intersection d’un nombre fini de disques fermés isométriques, l’intersection de celles-ci avec le contour d’un disque qui les définie est appelée l’arête de la feuille. Démontrer que les arêtes des feuilles sont liées.

(4 points)

B. 4121. D’un paquet de cartes, on tire des cartes une par une jusqu’à ce qu’on ait un poker en main. La première carte tirée est un as. Quelle est la probabilité qu’on s’arrête à un poker d’as?

Proposé par: Péter Maga

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 12 décembre 2008

C. 955. Résoudre l’équation 10x-5=9[x] dans l’ensemble des nombres réels (où [x] désigne la partie entière de x).

(5 points)

C. 956. On double le nombre de côtés d’un polygone. Quels sont les polygones pour lesquels la somme des angles du nouveau polygone est un multiple par un nombre entier de la somme des angles du polygone d’origine?

(5 points)

C. 957. Soient a et b les côtés d’un rectangle. Tracer dans le rectangle deux cercles isométriques de telle façon qu’ils ne possèdent aucun point commun interne. Donner le rapport des côtés du rectangle, sachant que le diamètre des plus grands cercles satisfaisant aux conditions est:

$d=\frac25\,a+\frac16\,b?$

(5 points)

C. 958. Dans un jeu de société joué avec un dé, notre pion se trouve à quatre cases de la case d’arrivée. Si notre dé indique quatre, nous sommes arrivés au but. Si nous faisons trois avec le dé, alors avec le lancée suivant nous arrivons sûrement au but.

Quelle est la probabilité que nous n’arrivions au but qu’avec plus de deux lancées?

(5 points)

C. 959. Le diamètre d’un des cercles de base d’un cône tronqué mesure 100 mm. En augmentant ce diamètre de 21% - la hauteur et le diamètre de l’autre cercle de base étant inchangés - le volume du cône tronqué augmente aussi de 21%. Donner le diamètre de l’autre cercle de base.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 12 décembre 2008

K. 175. Ecrire dans les huit cercles présentés par la figure ci-dessous les nombres entiers de 1 à 8, de telle façon qu’aucun des nombres ne soit en lien avec un nombre supérieur de 1 ou inférieur de 1(par exemple : le 4 ne doit pas être en lien avec le 3, ni avec le 5). Donner toutes les solutions différentes. En donnant la(les) solution(s), tenir compte de l’emplacement d’un certain chiffre dans un cercle désigné par une certaine lettre.

(6 points)

K. 176. Stéphane joue au jeu de Bloxorz. Cela consiste à déplacer un parallélépipède, ayant pour base un carré de côté unitaire et pour hauteur deux unités, suivant une piste dessinée sur une grille composée de carrés de côté unitaire. L’objet est en contact avec la piste sur un ou deux carrés et effectuer un pas consiste à tourner l’objet autour d’une de ses arêtes de telle façon qu’il soit posé sur une face voisine à son ancienne base. (les mouvements possibles sont illustrés par la figure ci-dessous.)

Au cours de la partie, l’objet ne peut pas quitter la piste, c’est à dire qu'il ne peut pas se trouver, même partiellement, sur une zone extérieure à la piste. Le but du jeu est de déplacer le pavé à partir d’une position de départ jusqu’à ce qu’il ne touche que la case désignée par X(qu’il soit debout sur cette case). (Le jeu se trouve sur Internet à l’adresse suivante: http://miniclip.com/games/bloxorz/en .)

La figure ci-dessus présente la piste. Le pavé se trouve au départ sur la case noire. Déplacer le pavé sur la case marquée par X, en position debout. Dessiner les positions successives du pavé(numéroter les positions), à travers lesquelles il arrive à la case marquée par X. Utiliser la même figure tant que la position suivante ne couvre pas un carré d’une ancienne position. Si, au pas suivant il y aurait recouvrement, commencer une nouvelle figure et marquer là-dessus les positions suivantes. Donner une solution de moins de 30 pas.

(6 points)

K. 177. Comment devons-nous choisir six nombres naturels consécutifs pour que la somme de leurs carrés soit divisible par 7?

(6 points)

K. 178. Dans une suite de nombres, à partir du deuxième terme, on peut obtenir chacun des termes en additionnant à son numéro d’ordre l’inverse du terme précédent. Le cinquième nombre de la suite est $\frac{225}{43}$ . Déterminer le quatrième et le sixième termes de la suite.

(6 points)

K. 179. Thomas a représenté ses dépenses du mois d’octobre sur un diagramme circulaire. Il a dépensé 15 € pour les goûters, 10 € pour l’achat de cadeaux, 12,50 € pour des tickets de cinéma, 5 € pour emprunter des DVD. Sur son diagramme circulaire, ses dépenses pour schwing-gum étaient représentées par un secteur d’angle de 20 degrés. A part les dépenses mentionnées, il n’avait pas d’autres sorties d’argent au mois d’octobre. Combien a-t-il dépensé pour schwing-gum au mois d’octobre?

(6 points)

K. 180. Ecrire les nombres entiers de 1 à 9 dans un tableau de 3×3, dans un ordre quelconque; additionner ensuite les six nombres obtenus par la lecture des lignes de gauche vers la droite puis par la lecture des colonnes de haut vers le bas. Donner les deux plus petites sommes pouvant être ainsi obtenues. Par exemple, la somme calculée en appliquant les règles données ci-dessus, selon la figure : 531+296+748+527+394+168=2664.