B. 4102. Soient a  et  b  deux nombres entiers strictement positifs. a²+4b  et b²+4a  peuvent-ils être en même temps des carrés parfaits?

(4 points)

B. 4103. Sur les côtés BC  et CD  d’un rectangle ABCD  donné, placer les points P  et Q  tels que ABPQ  soit un cerf-volant dont l’axe de symétrie est la diagonale AP.

(3 points)

B. 4104. Chercher des nombres a, b, c  tels que pour tout n  entier strictement positif, l’égalité

(n+3)²=a^.(n+2)²+b^.(n+1)²+c^.n²

soit satisfaite.

(3 points)

B. 4105. Le point A  se déplace sur un côté de l’angle de sommet C, le point B  se déplace sur l’autre côté de ce même angle de telle façon que la relation CA+CB=1 soit vérifiée. Démontrer qu’il existe un point par lequel la médiatrice de AB  passe toujours.

(4 points)

B. 4106. Quels sont les quadrilatères ABCD  dans le plan tels que pour tout point P  de ce plan l’égalité

PA²+PC²=PB²+PD²

soit satisfaite?

(4 points)

B. 4107. Résoudre le système d’équations suivant dans l’ensemble des nombres strictement positifs:

x⁴+y⁴-x²y²=13,

x²-y²+2xy=1.

(4 points)

B. 4108. Les bissectrices d’un triangle coupent son cercle circonscrit aux points P, Q, R. Les trois points P, Q, R  étant connus, construire le triangle.

(4 points)

B. 4109. Démontrer que

est un nombre irrationnel.

(5 points)

B. 4110. L’hexagone ABCDEF  et le triangle PQR  sont positionnés dans le plan de telle façon que les quadrilatères ABRQ, CDPR, EFQP sont des rectangles.

a) Montrer que les médiatrices des côtés BC, DE, FA  sont concourantes.

b) Montrer qu’il existe aussi un triangle P 'Q 'R ' tel que les quadrilatères BCR 'Q ', DEP 'R ', FAQ 'P ' sont des rectangles.

(5 points)

B. 4111. Soit n  un nombre entier strictement positif; soient a₁,a₂,...,a_n  des nombres entiers tous différents. Montrer que le polynôme ne peut pas s’écrire comme le produit de deux polynômes à coefficients entiers de degré au moins un.

(5 points)

K. 169. Quatre garçons et quatre filles sont allés au bal pour danser. Au cours des quatre premières danses, chacun des quatre garçons a dansé exactement une fois avec chacune des quatre filles, en dansant l’un avec l’autre une danse entièrement jusqu’au bout. Pendant la valse viennoise, Quentin dansait avec Fanny, Barnabé avec Hélène. La partenaire de tango d’Anthony était Gaby, celle de David était Fanny. Gaby dansait le mambo avec Quentin, Annick avec David. Qui dansait avec qui la première danse, la valse anglaise?

(6 points)

K. 170. Sur un long ruban, on a imprimé le motif constitué par une ligne brisée fermée illustré par la figure. (On ne présente ici que le début et la fin du ruban.) La longueur de chaque segment de la ligne brisée est égale à 1 cm.

a) La longueur du motif sur le ruban peut-elle être exactement 100 cm?

b) La somme des longueurs des segments visibles dans le motif peut-elle être 2008 cm?

c) Donner la longueur en cm de la partie occupée sur le ruban par le motif, sachant que l’aire délimitée par le motif est de 65 cm²?

(6 points)

K. 171. Dans une école, quatre classes de quatrième ont participé à un concours de maths. Chaque équipe a obtenu un nombre de points différent. Avant que le classement soit connu de tous, un professeur de mathématiques a additionné de toutes les manières possibles les résultats de deux équipes, a dit ensuite à ses élèves que parmi les sommes obtenues la plus grande était 128, la plus petite 82. Il a soufflé en outre à ses élèves qu’entre les deux équipes ayant eu la 2. et la 3. place il n’y avait qu’une différence de 4 points. De combien le nombre de points de la première équipe a-t-il dépassé celui de la quatrième équipe?

(6 points)

K. 172. Dans ,,l’hexagone magique'' présenté par la figure, nous avons écrit les nombres entiers de 1 à 19 de telle façon que la somme des nombres placés dans les petits hexagones étant en contact par des côtés entiers soit la même dans chaque colonne et dans chaque direction diagonale (aussi dans les directions diagonales comportant trois ou quatre hexagones). Remplir les hexagones vides selon les conditions. Donner toutes les solutions.

(6 points)

K. 173. On voudrait passer sur l’échiquier par le chemin le plus court (avec le moins de pas possible) de C5 à H2 avec un cavalier(en pas de cavalier). Donner le nombre minimum de pas pour le plus court chemin. Donner 12 de ces chemins.

(6 points)

K. 174. a) Est-il possible que la somme de quatre nombres impairs consécutifs donne un nombre à quatre chiffres dont tous les chiffres soient identiques?

b) Est-il possible que la somme de cinq nombres pairs consécutifs donne un nombre à cinq chiffres dont tous les chiffres soient identiques?

c) Est-il possible que la somme de huit nombres impairs consécutifs donne un nombre à huit chiffres dont tous les chiffres soient identiques?

(6 points)