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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

juin 2008.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 15 juillet 2008

A. 455. Soit H un ensemble de n éléments, soient $\mathcal S$ et $\mathcal T$ deux ensembles disjoints contenant chacun p sous-ensembles de H, donc au total 2p sous-ensembles tous différents. Supposons que pour tout $A\in \mathcal S$ et $B\in \mathcal T$ , A et B possèdent au moins un élément commun. Montrer que

$\frac{p}{2^n}<\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$

(5 points)

A. 456. Soit donné un triangle ABC et un point D à l’intérieur de ce triangle de telle façon que les cercles inscrits dans les triangles ABD, BCD, et CAD se touchent deux à deux. Désigner les points communs de ces cercles et des segments BC, CA, AB, AD, BD, CD par A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂,respectivement. Soit E le point d’intersection des droites B₁C₂ et B₂C₁, F celui de A₁C₂ et de A₂C₁. Montrer que les droites AF, BE et C₁D sont concourantes.

(5 points)

A. 457. Soit p un nombre premier impair. Démontrer que

$\sum_{i=1}^{p-1}{2^i i^{p-2}}- \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}{i^{p-2}}$

est divisible par p.

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 15 juillet 2008

B. 4092. Peut-on donner quatre nombres entiers strictement positifs de telle façon que le PGCD de deux nombres quelconques parmi ces quatre nombres soit strictement plus grand que 1, et que le PGCD de trois quelconques de ces nombres soit égal à 1?

(3 points)

B. 4093. Démontrer que pour tout n $\ge$ 6, chaque triangle peut être découpé en n triangles isocèles.

(3 points)

B. 4094. Peut-on éliminer un des nombres $1, 2, \ldots, 2008$ de telle façon qu’il existe pour les 2007 nombres restants un arrangement $a_1, a_2, \ldots, a_{2007}$ dans lequel les écarts ${|a_1-a_2|}, {|a_2-a_3|}, \ldots, {|a_{2006}-a_{2007}|}, {|a_{2007}-a_1|}$ soient tous différents?

(4 points)

B. 4095. Soient donnés dans un système orthogonal de trois dimensions un nombre infini de parallélépipèdes rectangles dont les arêtes sont parallèles aux axes. Un de leurs sommets est l’origine du système et les coordonnées des autres sommets sont des nombres entiers positifs ou nul. Est-il possible de choisir avec certitude deux parmi ces parallélépipèdes rectangles de telle façon que l’un contienne l’autre?

(5 points)

B. 4096. Les côtés du triangle ABC touchent son cercle inscrit aux points E, F et G. Soient a, b et c les distances d’un point quelconque P du cercle inscrit aux droites BC, CA et AB; soient e, f et g les distances de ce même point aux droites FG, EG et EF. Démontrer que abc=efg.

(4 points)

B. 4097. Résoudre l’équation ci-dessous dans l’ensemble des nombres entiers:

$2^{\frac{x-y}{y}} - \frac{3}{2}y = 1.$

(4 points)

B. 4098. Soit donné un côté d’un triangle et sur ce côté les deux points d’intersection avec les trisectrices de l’angle opposé. Construire le triangle.

(4 points)

B. 4099. Ecrire un chiffre dans chaque case d’un tableau de 10×10 de telle façon que chaque chiffre intervienne exactement dans 10 cases. Montrer qu’il existe une ligne ou une colonne contenant au moins quatre nombres différents.

(Kvant)

(5 points)

B. 4100. En combien de parties le plan est-il découpé par les droites des côtés d’un polygone régulier à n côtés?

(4 points)

B. 4101. Montrer que si xyz=8, alors

$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}>1.$

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 15 juillet 2008

C. 945. La Banque Nationale Hongroise a retiré de la circulation les pièces de 1 et de 2 florins à la date du 1^er mars 2008. En cas d’achats en espèce dans les magasins, on n’arrondi pas le prix de chaque article mais le montant total est arrondi à 5. Selon une fiche d’information, les règles de l’arrondi sont les suivantes:

Les montants se terminant par 1 ou par 2	Par défaut à 0-ra;
Les montants se terminant par 3 ou par 4	Par excès à 5;
Les montants se terminant par 6 ou par 7	Par défaut à 5;
Les montants se terminant par 8 ou par 9	Par excès à 0;

Toto achète chaque matin deux croissants à l’épicerie du coin. En quelques jours, à cause des arrondis, il économise exactement le prix d’un croissant. On sait que le prix d’un croissant est plus de 10 Florins. Combien de florins peut être le prix unitaire du croissant, sachant que cette économie est réalisée au plus vite possible?

(5 points)

C. 946. Pour quelles valeur de la constante c l’équation

$x^2-2 \left|x+\frac14\right|+c=0$

aura exactement trois racines réelles différentes?

(5 points)

C. 947. Un lièvre est assis au point A, à 160 m d’une ligne de chemin de fer et tend l’oreille. Soit T la projection orthogonale de A sur la ligne de chemin de fer. Un train roulant à la vitesse de 30 m/s s’approche du point T, la distance du devant du train au point T est au départ 300 m. Le lièvre peut courir à une vitesse de 15 m/s. Est-ce qu’il peut traverser les rails devant le train dans une direction ou dans une autre?

(5 points)

C. 948. Si on augmente de 5 la longueur d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle et on diminue de 5 l’autre côté de ce même angle, alors l’aire du triangle augmente de 5. Comment l’aire du carré tracé sur l’hypothénuse variera-t-elle en faisant ces modifications?

(5 points)

C. 949. Soit F le milieu de la base AB du triangle isocèle ABC, soit M son orthocentre. On sait que le centre de gravité du triangle est un point de son cercle inscrit et que $FM=\sqrt6$ . Donner les longueurs des côtés du triangle.