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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

mai 2008.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 11 juin 2008

A. 452. Soit un graphe simple à 2n sommets possédant n²+1 arêtes. Démontrer alors que ses arêtes déterminent au moins n triangles.

(5 points)

A. 453. Choisir au hasard n points sur la surface d’une sphère, indépendamment les uns des autres. Quelle est la probabilité que l'enveloppe convexe de ces points contienne le centre de la sphère?

(5 points)

A. 454. Existe-t-il un polynôme p à coefficients réels, différent du polynôme constant, tel que pour tout x réel l’égalité p²(x)-1=p(x²+1) soit vraie?

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 11 juin 2008

B. 4082. La figure ci-dessous présente une forme géométrique dans le plan par laquelle il est impossible de couvrir un demi-cercle de rayon unitaire, mais deux de ses exemplaires isométriques peuvent couvrir un cercle de rayon unitaire. Existe-t-il une figure géométrique convexe plane ayant les mêmes propriétés?

D’après un exercice Kvant

(4 points)

B. 4083. Ecrire un chiffre dans chaque case d’un tableau de dimensions 10×10 de telle façon que chaque chiffre intervienne exactement dans dix cases. Est-il possible de réaliser ceci de telle façon que dans chaque ligne et dans chaque colonne au maximum 4 chiffres différents soient présents?

Kvant

(4 points)

B. 4084. Donner les suites (a_n) à termes entiers strictement positifs pour lesquelles pour tout i $\ne$ j on a (a_i,a_j)=(i,j).

(3 points)

B. 4085. Démontrer que si un trapèze symétrique possède un cercle inscrit alors sa hauteur est la moyenne géométrique de ses bases.

(3 points)

B. 4086. Choisir au hasard 4 points sur la surface d’une sphère, indépendamment les uns des autres. Quelle est la probabilité que le tétraèdre déterminé par ces points contienne le centre de la sphère?

(5 points)

B. 4087. Montrer que si les longueurs des côtés d’un triangle sont 2 et 3 et 4, alors il possède deux angles $\alpha$ et $\beta$ pour lesquels

2 $\alpha$ +3 $\beta$ =180^o.

(3 points)

B. 4088. Soit P un point intérieur du côté B₁B₂ du triangle à angles aigus AB₁B₂. Soit Q le symétrique de P par rapport au point A. Soit D_i la projection orthogonale de P sur le segment AB_i, soit F_i le milieu du segment D_iB_i. Démontrer que si QD₁ est perpendiculaire à PF₁, alors QD₂ est perpendiculaire à PF₂.

(5 points)

B. 4089. Résoudre l’équation

X ⁴-7x ³+13x ²-7x +1=0

(4 pont)

B. 4090. La bissectrice f issue de A du triangle ABC à angles aigus coupe le côté BC en D, le cercle circonscrit en E. La hauteur issue de C coupe f en M, le cercle circonscrit en Q; la hauteur issue de B coupe f en N, le cercle circonscrit en P. Démontrer alors que

$\frac{BD}{DC} = \frac{PE \cdot AN \cdot ME}{QE \cdot CM \cdot NP}.$

(4 points)

B. 4091. Démontrer l’identité suivante pour tout m, t entiers strictement positifs:

$\sum_{k=0}^m \binom mk \binom{t+k}{m}=\sum_{k=0}^m\binom mk\binom tk\cdot2^k.$

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 11 juin 2008

C. 940. Démontrer que pour tout entier naturel n l’une des deux expressions suivantes est divisible par 17 : 2⁴ⁿ-1 , 2⁴ⁿ+1.

(5 points)

C. 941. Au plafond d’une salle de classe rectangulaire de longueur 10 m, on a installé deux lampadaires qui émettent la lumière en forme de cône d’angle d’ouverture 90^o. L’une des deux lampes se trouve au milieu du plafond et éclaire au sol un cercle dont le diamètre est de 6 m. L’autre lampe est tournée de telle façon que dans la partie éclairée par cette lampe il est possible de placer un segment de 10 m dans le sens de la longueur de la salle mais les murs aux deux bouts de la salle ne sont pas éclairés. Donner la distance des deux lampes.

(5 points)

C. 942. Dans une suite arithmétique de raison d, on a a₁=1 et a_n=81. Dans une suite géométrique de raison q, on a b₁=1 et b_n=81. Donner toutes les suites qui correspondent à ces conditions, sachant que $\frac qd=0{,}15$ .

(5 points)

C. 943. Considérer une partie d’un disque délimitée par deux rayons et l’arc correspondant. Donner son rayon, sachant que son aire est de 100 unités et que son périmètre est minimal.

(5 points)

C. 944. Robin, Dany et Armand font souvent des matchs de ping-pong de telle façon qu’un d’entre eux joue contre les deux autres. Dany et Armand gagent trois fois plus souvent contre Robin qu’ils ne perdent; Dany gagne aussi souvent contre Robin et Armand qu’il perd; enfin Armand gagne deux fois plus souvent contre Robin et Dany qu’il ne perd. La dernière fois, ils ont passé tout un après-midi à jouer six matchs, deux dans chaque distribution. Quelle est la probabilité que Robin a gagné au moins une fois que ce soit seul ou en double?

(5 points)

Les exercices K

La série K n'a que 7 parutions par an; les autres séries ont 9 numéros par an.

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 11 juin 2008