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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

avril 2008.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 09 mai 2008

A. 449. Dans le quadrilatère convexe ABCD, soient r_A, r_B, r_C et r_D les rayons des cercles inscrits des triangles BCD, CDA, DAB et ABC, respectivement. Démontrer que ABCD est inscriptible dans un cercle si et seulement si r_A+r_C=r_B+r_D.

Exercice chinois

(5 points)

A. 450. Pour la fonction $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , l’égalité suivante est vérifiée pour tous les réels x et y

f(x+f(y))+f(f(x)+y)=2x+2y

Démontrer alors que pour tout nombre réel x, on a f(2x)=2f(x).

(5 points)

A. 451. Soient $\mathcal{U}$ et $\mathcal{D}$ deux systèmes d’ensembles, constitués de certains sous-ensembles de l’ensemble S à n éléments, ayant les propriétés suivantes.

(a) Pour tout $X\in\mathcal{U}$ et X $\subset$ Y $\subset$ S on a $Y\in\mathcal{U}$ ; c’est à dire $\mathcal{U}$ est un système ascendant sur S.

(b) Pour tout $X\in\mathcal{D}$ et Y $\subset$ X on a $Y\in\mathcal{D}$ , c’est à dire $\mathcal{D}$ est un système descendant.

Démontrer que

$|\mathcal{U}| \cdot |\mathcal{D}| \ge 2^n \cdot |\mathcal{U}\cap\mathcal{D}|.$

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 09 mai 2008

B. 4072. Soit S(n) la somme des chiffres du nombre naturel n. Montrer qu’il existe un nombre infini de nombres naturels n ne se terminant pas par 0 pour lesquels on a S(n²)=S(n).

(3 points)

B. 4073. Trouver tous les triangles rectangles tels que les longueurs de leurs côtés soient des nombres entiers et tels qu’en additionnant 6 à leur hypothénuse, on obtienne la somme des deux autres côtés.

(3 points)

B. 4074. Soient donnés dans le plan un point C et un cercle. Soit AB un diamètre quelconque du cercle. Donner le lieu géométrique de l’orthocentre du triangle ABC lorsque le diamètre AB varie.

(4 points)

B. 4075. Déterminer la valeur maximale de la fonction $f(x)=\sqrt{x-2} + \sqrt{2x-7} + \sqrt{18-3x}$ .

(3 points)

B. 4076. Nadine et Kirsten jouent au jeu suivant: Nadine désigne un point N₁sur le côté AB du triangle ABC. Ensuite, Kirsten choisit un point K sur le côté BC. Enfin, Nadine marque un point N₂ sur le côté CA. Le but de Nadine est que l’aire du triangle N₁KN₂ soit la plus grande possible. Kirsten au contraire, il veut que celle-ci soit la plus petite possible. Quelle sera l’aire du triangle N₁KN₂ si chacun d’eux joue le plus habilement possible?

(4 points)

B. 4077. Démontrer qu’un nonagone convexe quelconque dont les sommets ont des coordonnées entières dans le système orthonormé possède trois sommets tels que le centre de gravité du triangle qu’ils déterminent soit aussi un point avec des coordonnées entières.

(4 points)

B. 4078. Pour les nombres entiers strictement positifs a et n, on a n>1 et $n\mid a^n-1$ .

Démontrer que PGCD(a-1;n)>1.

(5 points)

B. 4079. Soit G un graphe simple tel que son chemin le plus long comporte k $\ge$ 3 arêtes et le degré de chaque sommet soit au moins k/2. Montrer que chaque arête de G se trouve dans un circuit. (On appelle chemin une succession d’arêtes ne passant qu’une seule fois par chaque sommet.)

(4 points)

B. 4080. Choisir sur un cercle trois points au hasard, indépendamment les uns des autres. Quelle est la probabilité qu’ils déterminent un triangle à angles aigus?

(4 points)

B. 4081. Démontrer que les nombres entiers strictement positifs peuvent être coloriés en 2008 couleurs de telle manière qu’on utilise chaque couleur et que chaque fois qu’on a 3a+5b=7c, alors parmi a, b et c il en existe deux ayant la même couleur.

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 09 mai 2008

C. 935. Est-ce qu’un triangle équilatéral peut être découpé

a) en 2007 triangles équilatéraux,

b) en 2008 triangles équilatéraux?

(5 points)

C. 936. Donner tous les nombres entiers strictement positifs qui ont autant de diviseurs divisibles par six que de diviseurs non divisibles par six.

(5 points)

C. 937. Les trois côtés d’un quadrilatère mesurent, dans l’ordre, $a=4\sqrt3$ , b=9 et $c=\sqrt3$ . L’angle déterminé par les côtés a et b est de 30^o, celui déterminé par les côtés b et c mesure 90^o. Donner la mesure de l’angle déterminé par les diagonales du quadrilatère.

(5 points)

C. 938. Résoudre l’équation suivante dans l’ensemble des couples de nombres entiers:

(x+2)⁴-x⁴=y³.

(5 points)

C. 939. Tourner un rectangle, ayant pour longueurs de côtés 15 cm et 20 cm, autour d’une de ses diagonales. Donner le volume du corps ainsi obtenu.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 09 mai 2008

K. 163. Pour avoir effectué un certain travail, une équipe de huit personnes touche 2 240 €. Le chef d’équipe (qui est l’une des huit personnes), touche 70 € de plus que salaire moyen par personne. Comment doivent-ils répartir la somme perçue entre les membres de l’équipe, sachant qu’à part le chef d’équipe chacun doit recevoir la même somme?

(6 points)

K. 164. Soient donnés huit points sur un cercle. Les points voisins sont à distances égales les uns des autres. Tracer un triangle non isocèle dont les trois sommets sont parmi ces huit points. Donner les mesures possibles des angles de ce triangle.

(6 points)

K. 165. Olivier et Pauline fabriquent des anneaux avec des bandeaux de papier, ensuite, ils créent une chaîne en enfilant ces anneaux. Chacun d’eux utilise une feuille de 21×30 cm pour fabriquer la chaîne. Olivier coupe des bandeaux de 1 cm de large, parallèlement au côté de 21 cm, Pauline coupe aussi des bandeaux de 1 cm de large mais parallèlement au côté de 30 cm. Les deux extrémités des bandeaux se touchent, sont collées sans recouvrement et forment ainsi des anneaux. Les anneaux sont liés entre eux à la manière des chaînons, sans déformation. Qui aura la chaîne la plus longue? (En calculant le périmètre du cercle, prendre $\pi$ =3,14; l’épaisseur du papier peut être considérée comme nul.)

(6 points)

K. 166. Florent construit une pyramide selon le procédé illustré par la figure ci-dessous, en utilisant des cubes isométriques (il n’utilise pas de la colle, il pose les cubes simplement les uns sur les autres ou les uns à côté des autres):

La colonne verticale suivante est toujours plus élevée de deux cubes que la précédente et monte en escalier de chaque côté comme présenté par la figure. Quand Florent a atteint la hauteur de 10 cubes, il termine la pyramide selon la règle précédente, en diminuant la hauteur de chaque colonne de deux cubes. Combien de cubes utilise-t-il au total au cours de son travail?

(6 points)

K. 167. En souvenir du mathématicien écossais Dudley Langford, on appelle nombre DudLa un nombre dont chaque chiffre intervient au moins deux fois dans le nombre et pour lesquels il est vrai que entre deux chiffres quelconques de même valeur il y a autant de chiffres de valeur différente que leur valeur. Par exemple: 723 121 327 est un nombre DudLa car entre deux chiffres 1 il y a 1 chiffre de valeur différente, entre deux 2 il y en a 2, entre deux 3 il y en a 3, entre les deux chiffres de 7 il y a 7 chiffres de valeur différente. Trouver le plus possible de nombres DudLa à sept chiffres.

(6 points)

K. 168. En utilisant une fois chacun des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, écrire tous les nombres à sept chiffres.

a) Montrer que la différence de deux quelconques des nombres ainsi obtenus est divisible par 9.

b) Parmi ces nombres, combien y a-t-il de couples de nombres constitués de nombres différents dans lesquels l’un est diviseur de l’autre?

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 09 mai 2008