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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

mars 2008.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 16 avril 2008

A. 446. Les longueurs des tangentes tracées à partir des points A, B et C à la sphère s sont a, b et c, respectivement. Pour un point T de la sphère s non co-planaire avec les points A, B, C, on a

$\frac{AT}{a}=\frac{BT}{b}=\frac{CT}{c}.$

Démontrer que la sphère contenant les points A, B, C, T touche s en un seul point.

(5 points)

A. 447. Montrer que pour des nombres réels quelconques a₁,a₂,...,a_n

$\sum_{i=1}^n\ \sum_{j=1}^n\frac{a_ia_j}{i+j}\ge 0.$

(5 points)

Attention ! L’énoncé de l’exercice A. 448. est erroné. Cet exercice ne sera pas pris en compte dans le concours.

A. 448. Soit n un nombre entier strictement positif. Soit $\mathcal{W}={\{A,B,C,D\}}^n$ l’ensemble des mots(suites de lettres) de longueur n pouvant être construits avec les lettres A, B, C et D. Supposons que pour l’ensemble $\mathcal{S}\subset\mathcal{W}$ les affirmations suivantes soient vraies:

(a) Chaque mot de $\mathcal{S}$ contient au moins une fois la lettre A;

(b) Pour chaque mot $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathcal{W}$ composé pas uniquement de lettres A il existe un mot $(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in\mathcal{S}$ tel que pour tout entier i appartenant à {1,..,n}, x_i≠y_i.

Démontrer alors que |S |≥3n.

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 16 avril 2008

B. 4062. Est-il possible de tracer a) 13 b) 14 cercles dans le plan de telle façon que chacun d’eux touche exactement trois autres?

(4 points)

B. 4063. Alexandre et Robin choisissent à tour de rôle, à partir d’un paquet de 81 cartes, un SET de cartes et les posent sur la table. Quand pour la première fois il y aura un SET parmi les cartes restantes sur la table après le choix d’un joueur, ce joueur a perdu. C’est Alexandre qui commence. Qui a une stratégie gagnante?

(Voir article: Variations pour le thème des SET)

(4 points)

B. 4064. Soient donnés cinq points à coordonnées entières dans un système orthonormé du plan. Montrer qu’il y en a 2 parmi eux tels que le milieu du segment qu’ils déterminent est aussi un point à coordonnées entières.

(3 points)

B. 4065. Soit G un graphe simple dont chaque sommet est de degré 2. Montrer que G possède un sommet tel que chaque arc partant de ce sommet se trouve dans un circuit.

(3 points)

B. 4066. Démontrer que si l’aire d’un quadrilatère convexe est coupée en deux parts égales par ses deux droites des milieux, alors c’est un parallélogramme.

(4 points)

B. 4067. Tracer des droites perpendiculaire aux côtés AB, BC, CA d’un triangle de périmètre k, passant par A, B, C, dans l’ordre. Soit K le périmètre du nouveau triangle délimité par ces droites. Démontrer que

$\frac{K}{k}= \mathop{\rm ctg}\alpha+ \mathop{\rm ctg}\beta+ \mathop{\rm ctg}\gamma,$

où $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ sont les angles du triangle ABC et ctg=cotan.

(3 points)

B. 4068. Soient A, B, C, a, b, c des nombres entiers strictement positifs tels que a^.b^.c>1. Montrer qu’il existe un nombre entier strictement positif n tel que

A^.aⁿ+B^.bⁿ+C^.cⁿ

ne soit pas un nombre premier.

(4 points)

B. 4069. Les deux tangentes tracées à partir des points A et B au cercle C ont pour longueur a et b, dans l’ordre. Pour un point T du cercle il est vrai que les points A, B, T ne sont pas alignés et que

$\frac{AT}{a}=\frac{BT}{b}.$

Démontrer que le cercle passant par les points A, B, T touche C en un seul point.

(5 points)

B. 4070. Chacun des nombres naturels a et b peut être obtenu à partir de l’autre en modifiant l’ordre de leurs chiffres (écrits en base de 10). Démontrer alors que

a) Les sommes des chiffres de 2a et de 2b sont les mêmes.

b) Si a et b sont paires, alors les sommes des chiffres de $\frac{a}{2}$ et de $\frac{b}{2}$ sont les mêmes.

D’après un exercice Kvant

(5 points)

B. 4071. Démontrer que pour tout nombre entier strictement positif n

$\min_{k \in \mathbb{N}} \left[k + \frac{n}{k}\right] = \big[\sqrt{4n + 1}\,\big].$

ou [x] désigne la partie entière du réel x.

(4 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 16 avril 2008

C. 930. Dans un jeu de société, il y a 11 jetons rouges, 7 jetons bleus et 20 jetons verts. La banque donne deux jetons verts pour un jeton rouge et un jeton bleu, elle donne deux jetons bleus pour un jeton rouge et un jeton vert, elle donne deux jetons rouges pour un jeton bleu et un jeton vert. Au cours de ces échanges, notre but est de n’avoir que des jetons d’une même couleur. Quelle est cette couleur?

(5 points)

C. 931. Donner les nombres entiers strictement positifs tels qu’en enlevant au nombre la somme de ses chiffres le résultat soit égal à 2007.

(5 points)

C. 932. Combien y a-t-il de triangles de formes différentes dont les angles exprimés en degrés sont des nombres entiers?

(5 points)

C. 933. Soit donné un triangle ABC. Donner la droite passant par C telle que pour un point D quelconque différent de C de cette droite le périmètre du triangle ABD soit plus grand que celui du triangle ABC.

(5 points)

C. 934. Trois baguettes (d’épaisseur négligeable) sont fixées en un point commun se trouvant à leurs extrémités, les baguettes étant perpendiculaires deux à deux. Les longueurs des baguettes sont 1, 2 et 3. La construction ainsi obtenue est ensuite posée sur une table de telle façon que les extrémités libres des baguettes touchent le plan de la table. Déterminer la hauteur exacte du point de fixation des trois baguettes par rapport au plan de la table.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 16 avril 2008

K. 157. Les lampadaires sont disposés au bord de la route à distances égales. En 1 minute, j’en ai dépassé un nombre correspondant à 1/12 de ma vitesse en km/h. En supposant que je roulais à vitesse constante, donner la distance des lampadaires sachant que j’ai commencé et arrêté à les compter juste entre deux lampadaires.

(6 points)

K. 158. Dans un parc, on crée un jardin de fleurs carré de quatre parcelles (comme présenté par la figure). Une parcelle ne peut contenir qu’une sorte de fleurs et les parcelles voisines ne sont pas plantées de la même sorte de fleurs (mais dans les parcelles opposées oui). Les fleurs sont de trois sortes: roses, lys et tulipes. De combien de manières différentes peut-on aménager le jardin de fleurs sachant qu’on doit tenir compte aussi de la position des différentes parcelles par rapport aux points cardinaux(donc, on tient compte de la sorte de fleurs plantées dans les parcelles du Nord, du Sud, de l’Est et de l’Ouest)?

(6 points)

K. 159. Jean et Julie démarrent en même temps au bas de l’escalator et montent dans le sens du mouvement de l’escalator, en prenant les marches une à une. (L’escalator monte à vitesse constante et les enfants avancent aussi à vitesse constante pendant toute la durée de leurs mouvements.) Julie arrive en haut de l’escalator en 40 secondes et fait pendant ce temps 40 pas, Jean arrive en haut en 50 secondes en faisant 20 pas. L’escalator est ensuite arrêté pour des raisons techniques et les voyageurs doivent monter les marches sur l’escalator au repos. Combien de pas doivent-ils faire pour arriver en haut en prenant les marches une par une?

(6 points)

K. 160. Jean aime beaucoup jouer au jeu de memory. Le jeu comporte 18 sortes de cartes, 2 de chaque sorte. Jean mélange les cartes, les place ensuite toutes sur la table en cachant leurs couleurs. Le jeu est une succession de tours. En un tour, il retourne une carte parmi celles se trouvant sur la table, puis une deuxième ; si celles-ci sont pareilles alors il les prend, si elles sont différentes alors il les retourne de nouveau. Le jeu est terminé quand il a pris toutes les cartes de la table. Jean a une excellente mémoire et il est capable de mémoriser chaque carte retournée, il sait donc quelle est cette carte et où elle se trouve. Dans ces conditions, une partie peut-elle avoir 17, 18 ou 35 tours? Si non, expliquer pourquoi, si oui, donner le déroulement d’une partie. (On suppose que Jean essaie de diminuer le nombre de tours des parties, donc il ne retourne pas des cartes déjà vues par erreur.)

(6 points)

K. 161. Additionner tous les nombres entiers strictement positifs dont la division par 2008 donne le même nombre pour quotient et pour reste. Donner le résultat de cette addition.

(6 points)

K. 162. Soit donné un rectangle ABCD, son côté AB mesure 2 unités, la longueur de son côté AD est de 3 unités. Les segments AC et CE ont la même longueur. Donner la longueur du segment BE.