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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

février 2008.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 10 mars 2008

A. 443. Soit p le périmètre d’un hexagone convexe. Soit p₁le périmètre de l’hexagone déterminé par les milieux des côtés tel que chacun de ses angles soit de 120°. Démontrer que

$p_1\le\frac{\sqrt3}2p.$

Exercice de concours vietnamien

(5 points)

A. 444. Soient $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction continue telle que la suite $f(a),f(2a),f(3a),\ldots$ soit de limite 0 pour
tout réel a>0. Montrer que $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$ .

Exercice de concours tchèque

(5 points)

A. 445. Montrer que pour un nombre premier p et un nombre entier r quelconques il est possible de trouver un nombre entier positif ou nul n pour lequel

$\binom{2n}{n}\equiv r\pmod{p}.$

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 10 mars 2008

B. 4052. Dans un graphe simple, un chemin P₁,P₂,...,P_k est appelé école de saut si dans ce chemin pour tout i le degré du sommet P_i est i. Combien de sommets au plus une école de saut peut-elle avoir dans un graphe de n sommets?

(4 points)

B. 4053. La suite $a_1, a_2, \ldots$ dont les termes sont des nombres entiers, possède un nombre infini de termes strictement positifs et un nombre infini de termes strictement négatifs. Nous savons de plus que pour tout n toutes les divisions par n de $a_1, a_2, \ldots, a_n$ donnent des restes différents. Combien de fois le nombre 2008 intervient-il dans la suite?

(4 points)

B. 4054. Le rayon d’un cercle inscrit dans un triangle est r. Les tangentes du cercle parallèles aux côtés du triangle découpent chacune un petit triangle du triangle d’origine. Démontrer que la somme des rayons des cercles inscrits dans ces petits triangles est égale à r.

(3 points)

B. 4055. Montrer que tout nombre entier strictement positif inférieur ou égal à n! peut s’écrire comme la somme d’au plus n diviseurs différents de n!.

(5 points)

B. 4056. Soient M l’orthocentre d’un triangle à angles aigus, O le centre de son cercle circonscrit, a<b<c ses côtés. La droite du côté c, la hauteur perpendiculaire au côté b et la droite MO déterminent un triangle semblable au triangle d’origine mais de sens de parcours opposé. Donner les mesures des angles du triangle.

(4 points)

B. 4057. Résoudre l’équation x⁶-6x+5=0.

(4 points)

B. 4058. Soient $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ les angles d’un triangle. Donner la valeur maximale possible de l’expression

sin $\alpha$ sin $\beta$ cos $\gamma$ +sin² $\gamma$

(4 points)

B. 4059. Soit donné un point O dans le plan. Donner un exemple de deux triangles non isométriques A et B tels que chaque disque de centre O ait une partie de même aire dans les triangles A et B.

D’après un exercice du concours Schweitzer 2007

(5 points)

B. 4060. Déterminer toutes les fonctions $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que pour tout x, y réels

f(x)+f(x+f(y))=2x+y.

(4 points)

B. 4061. Soient ABC et PQR deux triangles tels que A soit le milieu de QR et P celui de BC. Nous savons de plus que la droite QR est la bissectrice de l’angle BAC et la droite BC celle de l’angle QPR. Démontrer que

AB+AC=PQ+PR.

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 10 mars 2008

C. 925. Montrer que la valeur de l’expression

$\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{1-x^3}+\frac{2(x-y)}{x^2y^2+3}$

est constante partout où elle est définie et où x+y=1.

(5 points)

C. 926. Une salle de cours est équipée de 24 lampadaires pouvant accueillir chacun 4-4 ampoules électriques. Après avoir mis quatre ampoules dans quelques lampadaires, on s’est aperçu que les stocks d’ampoules disponibles seront insuffisants. Par la suite, on ne mettait plus que trois puis deux et à la fin une seule ampoule par lampadaire. Malheureusement, même en procédant ainsi, il restait des lampadaires sans ampoule. Combien d’ampoules manquait-il, sachant qu’il y avait deux fois plus de lampadaires avec une ampoule que de lampadaires avec quatre ampoules et qu’il y avait moitié autant de lampadaires sans ampoule que le nombre de lampadaires contenant trois ampoules?

(5 points)

C. 927. Soit donné un triangle rectangle. Sachant que c désigne son hypothénuse et t son aire, $t=\frac{c^2}{8}$ . Donner les valeurs exactes de ses angles.

(5 points)

C. 928. Ecrire les nombres entiers de 1 à un nombre n divisible par 50. Eliminer ensuite ceux qui sont divisibles par 50. Montrer que la somme des nombres restants est un carré parfait.

(5 points)

C. 929. Soit donné une pyramide tronquée à base carrée. La longueur de toutes ses arêtes latérales et de ses arêtes à la base est de 4 unités. Les arêtes de sa face supérieur mesurent 2 unités. Donner la distance maximale possible entre deux sommets de cette pyramide tronquée.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 10 mars 2008

K. 151. Selon un sondage effectué dans un groupe de lycéens, $\frac{2}{3}$ des garçons et $\frac{3}{4}$ des filles aiment les framboises. Le résultat du sondage montre aussi que le nombre de filles et de garçons aimant les framboises est le même. Donner la fraction des élèves qui aiment les framboises.

(6 points)

K. 152. Les 3% des 800 habitants de la planète Awr ont 2 têtes, la moitié du reste en a 3, l’autre moitié de ce même reste n’en a qu’une. La planète voisine Bwr envoie des fruits dans un vaisseau: un délicieux cwr par tête pour chacun. Combien exactement?

(6 points)

K. 153. Julien pense à un nombre à quatre chiffres que Guillaume doit deviner. Pour ce faire, Guillaume doit dire des nombres à quatre chiffres et Julien lui dit chaque fois le nombre de chiffres placés à la bonne position par rapport au nombre auquel il a pensé. (Par exemple, si le nombre à deviner est 1234, et Guillaume dit 6231, alors il a trouvé 2 chiffres, le 2 et le 3. Le 1 ne compte pas car il n’est pas en bonne position). Guillaume a donné neuf nombres: 2186, 5127, 6924, 4351, 5916, 8253, 4521, 6384, 8517. Dans chacun, il a trouvé exactement 1 chiffre, c’est à dire dans chaque nombre il y a exactement un chiffre placé à la bonne position par rapport au nombre à deviner. Quel était le nombre à deviner?

(6 points)

K. 154. Le rapport de la différence, de la somme et du produit de deux nombre est 1:7:24. Donner ces deux nombres.

(6 points)

K. 155. Dans le quadrilatère représenté par la figure

$DAB\sphericalangle = ABC\sphericalangle =60^\circ,$

et $CAB\sphericalangle =CBD\sphericalangle$ . Démontrer que AD+CB=AB.

(6 points)

K. 156. La petite maison dessinée dans le cercle est constituée d’un triangle équilatéral et d’un carré. Montrer que le côté du carré est égal au rayon du cercle.