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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

janvier 2008.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 09 février 2008

A. 440. Dans le triangle ABC isocèle en A, soit M le milieu de la base BC, soient D et E des points intérieurs des côtés AB et AC tels que DE soit parallèle à BC.

Soient P et Q deux points de la droite BC, à l’extérieur du segment BC, du côté de B et du côté de C, tels que

$\frac1{MP}+\frac1{MQ}=\frac1{MB}$

Soit R le point d’intersection des droites PD et QE. Donner le lieu géométrique des points R pouvant être ainsi obtenus.

(5 points)

A. 441. Pour une suite $A=(a_0,a_1,a_2,\ldots)$ , soit

$SA=(a_0,a_0+a_1,a_0+a_1+a_2,\ldots)$

la suite des sommes partielles de la série $a_0+a_1+a_2+\ldots$ . Est-ce qu’il existe une suite A non nul pour laquelle les suites A, SA, SSA, SSSA, ... soient toutes convergentes?

Concours Miklós Schweitzer, 2007

(5 points)

A. 442. Répartir en deux groupes tous les sous-ensembles de n éléments d’un ensemble de n²+n -1 éléments. Démontrer que dans l’un des deux groupes il existera n ensembles dont deux quelconques sont disjoints.

Concours Miklós Schweitzer, 2007

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 09 février 2008

B. 4042. Nous avons couvert un échiquier de dimension 2007×2008 avec un certain nombre de dominos de dimension 2×2 et de 1×4, en une seule couche. Echanger un des dominos de dimension 2×2 de l’ensemble utilisé par un domino de 1×4. Montrer qu’il est impossible de couvrir l’échiquier avec ce nouvel ensemble de dominos.

(4 points)

B. 4043. Pour quelles valeurs des nombres entiers strictement positifs a, b, c, d, tous différents, l’expression

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}$

aura pour valeur un nombre entier?

(4 points)

B. 4044. Montrer que la moyenne des distances d’un point situé à l’intérieur d’un polygone régulier par rapport aux droites des côtés est égale à la longueur du rayon du cercle inscrit.

(3 points)

B. 4045. Placer le triangle équilatéral ABC de côté unitaire dans l’angle XOY de 120^o de telle façon que le sommet A se trouve sur le côté OX, le sommet B sur le côté OY et que la droite AB sépare les points C et O l’un de l’autre. Déterminer le lieu géométrique des points C lorsque A et B se déplacent sur les côtés de l'angle XOY.

(4 points)

B. 4046. Résoudre le système d’équations ci-dessous:

$a\sqrt a+b\sqrt b =183,$

$a\sqrt b+b\sqrt a =182.$

(3 points)

B. 4047. Un nombre fini de disques recouvrent une aire A dans le plan. Montrer qu’il est possible de sélectionner quelques disques qui ne se recouvrent pas et couvrent une aire d’au moins A / 9.

(4 points)

B. 4048. Soient $A_1, A_2, \ldots, A_{2n}$ les sommets d’un polygone régulier de 2n côtés, dans l’ordre. Démontrer que

$\frac{1}{A_1A_2^2} + \frac{1}{A_1A_n^2} = \frac{4}{A_1A_3^2}.$

(3 points)

B. 4049. Pour les nombres réels strictement positifs a, b, c on a $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$ . Démontrer que

$\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge\frac{1}{a+b+c}.$

(5 points)

B. 4050. Montrer que l ‘équation x³-x²-2x+1=0 possède deux racines réelles a et b, telles que a-ab=1.

(5 points)

B. 4051. Montrer que pour tout n entier strictement positif, tous les diviseurs de $\underbrace{111\ldots1}_{\textstyle 5^n}$ se terminent par 1.

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 09 février 2008

C. 920. Un champ est délimité d’un côté par un mur le long d’un segment rectiligne d’environs 50 m de long. Le fermier voudrait fermer ce champ avec une clôture électrique de façon à obtenir pour ces vaches un champ rectangulaire ayant une aire maximale. Comment doit-il procéder sachant qu’il dispose d’un fil de fer d’une longueur de 44 mètres qu’il peut fixer au sol avec des bâtons

a) à chaque les mètre,

b) à tous les 2 mètres ?

Donner l’aire des zones clôturées dans les deux cas.

(5 points)

C. 921. Avant la distribution du dernier contrôle de maths du trimestre, le professeur dit à Stéphane qui était entre les notes 4 et 5 ( sur 5 ): ,,vous étiez 16 à écrire le contrôle. J’ai donné aussi des 0,5 points (ex : 2,5). L’étendue des notes est 2, leur mode est 4,5, leur médiane 4. Parmi toutes les possibilités ainsi obtenues, le groupe a eu la pire des moyennes. Si tu me dis si tu as pu obtenir 5 pour ton contrôle dans ces conditions, alors je te donnerai 5 de moyenne pour le trimestre.'' Quelle était la réponse de Stéphane sachant qu’il a eu finalement 5 pour sa moyenne du trimestre?

(5 points)

C. 922. Donner toutes les solutions entières de l’équation suivante: x²+12=y⁴.

(5 points)

C. 923. Les côtés parallèles d’un trapèze inscriptible dans un cercle sont de longueur a=10, c=15, le rayon de son cercle circonscrit est r=10. Donner les longueurs possibles de ses deux autres côtés. Donner son aire.

(5 points)

C. 924. L’aire de la coupe diagonale rectangulaire passant par deux arêtes parallèles d’un parallélépipède rectangle peut avoir trois valeurs: A₁=60, , . Calculer la surface et le volume de ce parallélépipède.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 09 février 2008

K. 145. Quentin prévoit un voyage autour du monde avec sa voiture tout terrain, au cours duquel il fera $42\;000$ km sur terre ferme. Un pneu peut rouler (à n’importe quel emplacement) $24\;000$ km. Combien de pneus doit-il acheter pour pouvoir parcourir le trajet prévu? Donner aussi, comment doit-il placer ceux-ci sur la voiture pour qu’il puisse faire toute la distance.

(6 points)

K. 146. Céline avance deux fois plus vite quand elle court que quand elle se promène. En allant à l’école, elle passe deux fois plus de temps à avancer en se promenant qu’à courir et met ainsi 20 minute pour faire le trajet. En rentrant chez elle, elle passe deux fois plus de temps à avancer en courant qu’à se promener. Combien de minutes elle met pour rentrer chez elle?

(6 points)

K. 147. En période de soldes, une voiture d’occasion proposée à l’origine pour 4200 € a été vendue pour 2310 €. Avec ce même taux de remise, une autre voiture a été vendue pour 3/5^ème de son prix d’origine moins 146 €. Quel était le prix d’origine de cette dernière voiture?

(6 points)

K. 148. Anne, Barbara, Céline, Doriane, Eloise et Fanny vont au cinéma. Leurs tickets sont valables pour six places contiguës. Anne et Barbara veulent absolument s’asseoir l’une à côté de l’autre, Céline et Doriane pas du tout car elles sont fâchées en ce moment. De combien de manières différentes peuvent-elles s’asseoir sur les six places contiguës dans ces conditions?

(6 points)

K. 149. Découper un carré en 30 triangles sans recouvrement. Les côtés du carré sont les côtés de triangles différents. Les triangles se rencontrent en leurs sommets (c’est à dire : aucun sommet des triangles n’est un point intérieur d’un côté d’un autre triangle). Combien de sommets de triangles se trouvent à l’intérieur du carré?

(6 points)

K. 150. Donner la première heure, après 8 heures, à laquelle les deux aiguilles d’une horloge forment avec la ligne horizontale un angle de même mesure.

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 09 février 2008