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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

décembre 2007.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 09 janvier 2008

A. 437. Montrer que si p>3 est un nombre premier et

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{p}=\frac{a}{b},$

alors ap-b est divisible par p⁴.

(5 points)

A. 438. Tracer le cercle circonscrit du triangle équilatéral ABC. Soit P un point de l’arc AB de ce cercle, soient Q et R deux points de l’arc BC, S et T deux points de l’arc CA tels que AP=BQ=CR=CS=AT. Soit U le point d’intersection des droites BQ et PR, Soit V le point d’intersection des droites AS et PT, soit W le point d’intersection des droites AU et BV . Montrer que les droites AU, BV et PW forment deux par deux un angle de 60^o.

(5 points)

A. 439. Montrer que pour des nombres réels quelconques $1>a_1>a_2>\ldots>a_n>0$ , on a

$\frac{a_1^2}{1-a_1} + \frac{a_2^2}{a_1-a_2} + \frac{a_3^2}{a_2-a_3} + \ldots + \frac{a_n^2}{a_{n-1}-a_n} > \frac12(a_1+2a_2+3a_3+\ldots+na_n)-1.$

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 09 janvier 2008

B. 4032. Ecrire 2007 nombres entiers naturels sur la circonférence d’un cercle. En prenant deux nombres voisins quelconques et en divisant le plus grand par le plus petit, est-il possible qu’on obtienne chaque fois un nombre premier?

(3 points)

B. 4033. A un cours de danse, il n’y a que des couples mariés parmi les inscrits. Quelqu’un a observé que la différence de taille entre les deux membres d’un couple quelconque est toujours 10 cm au plus. Le professeur de danse fait aligner séparément les hommes et les femmes dans l’ordre croissant de leurs tailles. Les couples de danseurs se forment selon cet ordre: La plus grande femme danse avec le plus grand homme et ainsi de suite. Montrer que la différence de taille entre les deux membres d’un couple de danseurs quelconque est aussi toujours 10 cm au plus.

(4 points)

B. 4034. Soit F le milieu d’un côté d’un triangle, soient H₁ et H₂ les points divisant un autre côté de ce triangle en trois parts égales. Diviser le troisième côté en n parts égales par les points $N_1, N_2, \ldots, N_{n-1}$ . Considérer tous les triangles FH_iN_j, où i=1,2, $j=1,\ldots,n-1$ . Montrer qu’en choisissant un triangle quelconque parmi ceux-ci, il y aura exactement un triangle parmi ceux restants qui aura la même aire que lui.

(3 points)

B. 4035. Résoudre l’équation

2cos 5x+2cos 4x+2cos 3x+2cos 2x+2cos x+1=0

(5 points)

B. 4036. Les cercles c₁ et c₂ sont tangents extérieurement au point P. Soit e l’une de leurs tangentes communes qui touche les cercles aux points A et B, respectivement. La droite f parallèle à e touche c₁au point C et coupe c₂ en D et en E. Démontrer que la corde commune des cercles circonscrits des triangles ABC et ADE passe par le point P.

(5 points)

B. 4037. Soit f(n) la somme des chiffres du nombre strictement positif n écrit en base dix. Quelle peut être la valeur de f(3a), si

(4 points)

B. 4038. Soit P un point à l’intérieur du triangle ABC. Soient A', B ' et C ' les symétriques de P par rapport aux milieux des côtés BC, CA et AB, respectivement. Démontrer que les droites AA', BB ' et CC ' sont concourantes.

(3 points)

B. 4039. Martin et Marie écrivent à tour de rôle des chiffres 0 ou 1, en allant de gauche à droite. Martin commence en écrivant un chiffre 1. Le jeu se termine quand chacun d’eux a écrit exactement 2007 chiffres. Ils lisent ensuite la suite de chiffres 0--1 ainsi obtenue comme un nombre écrit en base deux. Martin gagne si le nombre est la somme de deux nombres carrés parfaits, sinon c’est Marie qui gagne. Qui a une stratégie gagnante?

(4 points)

B. 4040. Pour les nombres réels strictement positifs a, b, c on a ab+bc+ca=1. Démontrer alors que

$\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-c^2}{1+c^2}\le\frac{3}{2}.$

(5 points)

B. 4041. Les longueurs des médianes d’un triangle sont a, b, c. Démontrer que pour les nombres strictement positifs $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ quelconques, il est possible de construire des triangles avec des longueurs de côtés

$\alpha$ a+ $\beta$ b+ $\gamma$ c, $\gamma$ a+ $\alpha$ b+ $\beta$ c, $\beta$ a+ $\gamma$ b+ $\alpha$ c

(4 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 09 janvier 2008

C. 915. Quels sont les nombres premiers qu’on peut écrire comme la somme de deux nombres strictement positifs non premiers?

(5 points)

C. 916. La comptabilité de 2006 d’une compagnie d’assurance indique une augmentation de 25% des recettes et une augmentation de 15% des dépenses, par rapport à l’année précédente. Les bénéfices (Recettes - Dépenses) de la compagnie ont augmentés de 40%. Quel pourcentage des recettes les dépenses représentaient-elles en 2006?

(5 points)

C. 917. Résoudre le système d’équations suivant:

x+2y+3z+4v=a,

y+2z+3v+4x=b,

z+2v+3x+4y=c,

v+2x+3y+4z=d,

où a, b, c, d sont des nombres réels donnés.

(5 points)

C. 918. Relier les milieux des côtés d’un rectangle aux sommets opposés. Quelle fraction l’aire de l’octogone déterminé par les huit droites ainsi obtenues représente-t-elle par rapport à l’aire du rectangle?

(5 points)

C. 919. Couper un triangle rectangle, par la médiatrice de son hypothénuse, en un triangle et un quadrilatère. Le rapport entre les longueurs des diagonales du quadrilatère est

$\big(1+\sqrt3\,\big):2\sqrt2.$

Donner la mesure des angles aigus du triangle rectangle.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 09 janvier 2008

K. 139. Placer des signes d’opérations de base à la place des ronds entre les nombres de telle façon que le résultat de la suite d’opérations soit 100. (Attention! On n’a pas le droit d’utiliser des parenthèses pour résoudre le problème.)

$1\ \circ \ 2\ \circ \ 3\ \circ \ 4\ \circ \ 5\ \circ \ 6\ \circ \ 7\ \circ \ 8\ \circ \ 9 = 100$

(6 points)

K. 140. Combien de kg de blés sont nécessaires pour produire une douzaine d’œufs sachant que 73 poules pondent 73 douzaines d’œufs en 73 jours et que 37 poules mangent 37 kg de blés en 37 jours?

(6 points)

K. 141. Au club de jeux de société, cette année nous avons redemandé aux participants de voter pour l’un des quatre types de jeux qu’ils préfèrent. Selon le vote, les jeux de ,,construction civilisations'' ont perdu leur avantage de 12 votes de l’année dernière et sont passés à la deuxième place avec une différence de 6 votes. Les jeux de ,,trains'' sont en tête de liste avec 38% des votes. Les jeux d’ ,,influence'' ont obtenu seulement 14% des votes et se trouvent à la quatrième place, étant donné que les jeux de ,,commerce'' ont obtenu 4 votes de plus. Donner le nombre de votes pour chaque type de jeux.

(6 points)

K. 142. Aux Olympiades de Mathématiques qui seront organisées en 2100, les médailles d’or et d'argent seront fabriquées en or massif et en argent massif (la médaille de bronze en bronze), le diamètre de la médaille d’argent sera de 3 cm, son épaisseur de 5 mm. (la forme des médaille sera la forme habituelle). Donner les diamètres des médailles d’or et des médailles de bronze sachant que les trois sortes de médailles auront la même épaisseur et la même masse. (Masses volumiques: or $19\;300~\rm kg/m^{3}$ , argent $10\;500~\rm kg/m^{3}$ , bronze 8930 kg/m³.)

(6 points)

K. 143. Dans un petit théâtre, le prix d’un ticket d’entrée était de 15 euros mais à ce tarif-là il y avait peu de spectateurs. La direction a décidé ensuite de diminuer le prix. Cette diminution a entraîné une augmentation de 50% du nombre moyen de spectateurs journalier et une augmentation de 25% des recettes journalières moyennes. Quel est le nouveau prix du ticket?

(6 points)

K. 144. En utilisant une fois chacun des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, écrire un nombre à sept chiffres. Déterminer la somme de tous les nombres à sept chiffres pouvant être créés de cette façon.

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 09 janvier 2008