B. 4022. Est-ce qu’il existe un système de numération dans lequel: la règle de divisibilité par 9 est comme la règle de divisibilité par 4 dans le système de base dix;  la règle de divisibilité par 4 est comme la règle de divisibilité par 9 dans le système de base dix;  la règle de divisibilité par 7 peut être déterminée par le dernier chiffre.

(4 points)

B. 4023. Soit donné un point sur un des côtés d’un triangle. Tracer deux droites, passant par ce point, qui divisent l’aire du triangle en trois parts égales.

(3 points)

B. 4024. Combien de nombres au plus peut-on choisir parmi les 1000 premiers nombres entiers strictement positifs de telle façon que la somme de deux nombres quelconques choisis ne soit pas divisible par leur différence?

(3 points)

B. 4025. Construire un triangle équilatéral à l’extérieur sur le côté BC  du triangle ABC,  construire un autre triangle équilatéral sur le côté CA  à l’intérieur. Soient A^*  et B^*  leurs troisièmes sommets. Soit  C'  le symétrique de C  par rapport à la droite AB. Démontrer que les points A^*, B^*  et C'  sont alignés.

(4 points)

B. 4026. Soit h  la longueur de la corde commune des deux cercles de diamètres d₁ et d₂. Les deux droites tracées passant par un des deux points d’intersection coupent les cercles en C₁ et C₂, en D₁ et D₂ comme présenté par la figure. Démontrer que la droite C₁D₁ est perpendiculaire à la droite C₂D₂  si et seulement si

(4 points)

B. 4027. Résoudre l’équation

(4 points)

B. 4028. Les rayons de deux sphères font 5 et 3 unités, la distance de leurs centres est de 4 unités. Calculer le volume de la partie en commun des deux sphères.

(3 points)

B. 4029. La somme des nombres strictement positifs r  et s  est égale à 1. Montrer que

r ^r.s ^s+r ^s.s ^r 1.

proposé par: R. F. Stöckli (Buenos Aires)

(5 points)

B. 4030. Soit AB  un segment du plan. Placer un point C  quelconque dans le plan tel que le triangle ABC  ne soit pas isocèle. La bissectrice extérieur passant par C  coupe la droite AB  en D.  Soit P  le point d’intersection de cette bissectrice avec la tangente du cercle ADC passant par A. Déterminer le lieu géométrique des points P  lorsque C varie.

D’après un exercice de concours autrichien

(5 points)

B. 4031. Soit n >1 un nombre entier. Montrer que l’équation

n’a pas de solution rationnelle.

(5 points)

K. 133. Combien de nombres à cinq chiffres existe-t-il tels que la somme des chiffres soit égale à la somme des carrés des chiffres?

(6 points)

K. 134. Un certain nombre entier positif est divisible par 2, par 5  et par 9. Nous savons aussi qu’à part ces nombres, il a encore exactement 9 diviseurs positifs. Quel est ce nombre entier positif?

(6 points)

K. 135. Mélanger à part deux paquets de cartes contenant chacun 32 cartes. Placer ensuite un paquet sur l’autre. Rechercher dans le paquet de dessous la carte correspondant à chacune des cartes se trouvant dans le paquet de dessus et compter chaque fois le nombre de cartes se trouvant entre les deux. Additionner les nombres ainsi obtenus. Quel est le résultat de cette addition?

(6 points)

K. 136. Une école a envoyé pendant les vacances chacun de ses élèves une fois en colonie. Les élèves sont partis en deux groupes de même effectif chacun. Dans le premier groupe, il y avait 70% des garçons de l ‘école; dans le deuxième groupe, il y avait 80% des filles de l’établissement. Quel % des élèves du premier groupe étaient des garçons?

(6 points)

K. 137. Le nombre d ‘éléments de l’ensemble A  est plus grand que le nombre d’éléments de l’ensemble B   mais plus petit que le double du nombre d’éléments de l’ensemble B. Nous savons en outre que l’ensemble B  possède 16 sous-ensembles de plus que l’ensemble C. Combien de sous-ensembles l’ensemble A  peut-il avoir?

(6 points)

K. 138. Soustraire 1 au carré d’un nombre premier quelconque supérieur à 3. Quel est le plus grand nombre entier positif  qui sera sûrement diviseur du résultat?

(6 points)