B. 4012. Alice a 8 clés enfilées sur un anneau. Les clés ont toutes une apparence identique et leurs deux côtés sont pareils. Pour pouvoir les distinguer, Alice couvre la tête de chacune d’elles par un chapeau en plastic coloré. De combien de couleurs a-t-elle besoin au minimum?

(3 points)

B. 4013. Est-il possible de colorier les nombres rationnels strictement positifs en rouge et en bleu de telle façon qu’il en existe des deux couleurs et que

(a) la somme de deux nombres rouges soit rouge, la somme de deux nombres bleus soit bleue;

(b) le produit de deux nombres rouges soit rouge, le produit de deux nombres bleus soit bleu;

(4 points)

B. 4014. Soient A', B '  et C ' les symétriques des sommets du triangle ABC  à angles aigus par rapport au centre de son cercle circonscrit. Montrer que la somme des aires des triangles A'BC, AB 'C  et ABC '  est égale à l’aire du triangle ABC.

(3 points)

B. 4015. Les diagonales d’un quadrilatère convexe forment un angle de 45^o. A partir de chaque sommet du quadrilatère, tracer une droite perpendiculaire à la diagonale reliant les deux sommet voisins. Donner le rapport entre l’aire du quadrilatère, ayant pour sommets les points d’intersection de ces droites perpendiculaires avec les diagonales, et celle du quadrilatère d’origine.

(3 points)

B. 4016. Dans tous les groupes de 9 personnes d’une équipe de 12 individus, il y a au moins 5 personnes qui se connaissent tous entre eux. Montrer alors qu’il existe 6 membres de l’équipe qui se connaissent aussi tous entre eux.

(5 points)

B. 4017. Le cercle k₂ touche le cercle k₁ de l’intérieur, au point A. Tracer une tangente du cercle k₂ en un point D  différent de A. Cette tangente coupe le cercle k₁ aux points B  et C. Montrer que AD  est la bissectrice de l’angle BAC.

(4 points)

B. 4018. Soit P  un point de la tangente tracée au point B  d’un cercle de diamètre AB.  L’autre tangente de ce cercle passant par P  touche le cercle en C. Soit T  la projection orthogonale de C  sur la droite AB. Montrer que AP  passe par le milieu du segment CT.

(4 points)

B. 4019. Montrer que pour tout n  entier strictement positif :

 

(4 points)

B. 4020. Trouver deux polyèdres non isométriques dont la vue de face et la vue de dessus sont comme présentée par la figure. (Le point d’intersection intérieur est le centre du carré. Les segments des carrés sont tous des arêtes visibles mais il n’y a pas d’autres arêtes cachées non plus.)

(5 points)

B. 4021. Montrer que si n  est un entier strictement positif et que chacun des nombres a₁,a₂,...,a_n  est au moins égal à 1, alors

(a₁+1)(a₂+1)^....^.(a_n+1)2^n-1(a₁+a₂+...+a_n-n+2).

(4 points)

K. 127. Nous avons remplacé chaque chiffre d’un nombre entier à quatre chiffres strictement positif par son quadruple. Nous avons ainsi obtenu un nombre à quatre chiffres qui est le quadruple du nombre d’origine à quatre chiffres. Combien y a-t-il de tels nombres à quatre chiffres?

(6 points)

K. 128. Dans un jeu logique, la position de départ est la suivante:

Dans ce jeu, des pions marqués d’une flèche peuvent se déplacer dans un petit tableau de 7 positions. Chaque pion peut se déplacer uniquement dans la direction indiquée par sa flèche: il peut avancer d’un pas vers la case voisine vide ou bien il peut sauter par-dessus le pion (quelconque) se trouvant sur la case voisine, à condition que derrière celui-ci se trouve une case vide. (Dans ce cas, le pion effectuant le pas arrivera donc sur la deuxième case par rapport à sa position précédente.) Le but du jeu est que les pions marqués par les deux sortes de flèches changent de place. Dessiner une suite de pas effectuant ce changement.

(6 points)

K. 129. Anthony, pour bien commencer l’année scolaire 2007/2008, s’est mis à imprimer la suite de nombres suivante sur l’imprimante reliée à son PC:

200720082007200820072008...

Mais juste à après avoir imprimé le 2007^ième chiffre, il n’y avait plus d’encre. Pour imprimer un chiffre 2, l’imprimante utilise 2/3 de la quantité d’encre utilisée pour un 0, ou pour un 8 ; pour imprimer un chiffre 7, elle utilise la moitié de la quantité d’encre consommée pour l’impression d’un 2. Combien de chiffres 7 auraient pu être imprimés avec cette même quantité d’encre?

(6 points)

K. 130. On peut voir 4 cercles sur la figure ci-dessous. Les rayons des moyens cercles sont d’une longueur de 2 unités, celui du plus petit cercle de 1 unité. Donner le rayon du plus grand cercle, sachant que l’aire de la zone à rayures est égale à celle de la zone à points.

(6 points)

K. 131. Dans la cuisine, une boîte alimentaire ayant une forme de parallélépipède rectangle est posé sur le vaisselier, ses dimensions extérieures sont de 3 dm×5 dm×2,9 dm. Sa face de 3×5 dm est posée sur le meuble. Une fourmi se trouvant au coin inférieur de la boîte voudrait passer au coin supérieur diagonalement opposé, en avançant toujours sur les faces de la boîte (elle ne peut pas entrer à l’intérieur de la boîte). Donner la longueur du chemin le plus court qu’elle doit parcourir.

(6 points)

K. 132. Combien y a-t-il de nombres à six chiffres pour lesquels la sommes des carrés des chiffres est égale à 9?

(6 points)