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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

mai 2007.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 17 juin 2007.

énoncés maths concours 2007 05

A. 425. Montrer que si n $\ge$ 2 et $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , $x_1,x_2,\ldots,x_n$ sont des nombres réels strictement positifs tels que $a_1+\ldots+a_n=x_1+\ldots+x_n=1$ , alors

$2\sum_{1\le i<j\le n} x_ix_j \le \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i}\,.$

Exercice de concours polonais

(5 points)

A. 426. Pour les nombres strictement positifs a, b, c quelconques, donner le rayon du plus grand cercle tracé sur l'ellipsoïde

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

Exercice de concours tchèque

(5 points)

A. 427. Coller 2007 ,,oreillettes'' sur les bords d’une feuille de papier. Chaque oreillette est constituée d’une longue bande de papier, ces bandes peuvent se croiser mais aucune d’entre elles n’est entortillée. Montrer que la surface ainsi créée possède au moins deux courbes la délimitant. (Par exemple la surface présentée par la figure possède trois courbes la délimitant.)

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 17 juin 2007.

énoncés maths concours 2007 05

B. 3992. Quelques personnes font une bataille de paintball. Dans une situation donnée, les distances entre les différents joueurs sont toutes différentes. Chacun tire alors en visant la personne se trouvant le plus près de lui. Combien de personnes au plus peuvent tirer sur un même joueur?

(4 points)

B. 3993. La somme de 5 termes consécutifs quelconques d’une suite de nombres réels est strictement positive, la somme de 7 termes consécutifs quelconques de cette même suite est strictement négative. Quelle peut être la longueur de cette suite de nombres?

(4 points)

B. 3994. Déterminer tous les nombres entiers n positifs ou nul pour lesquels il existe des nombres entiers a et b tels que n²=a+b et n³=a²+b².

(3 points)

B. 3995. Les points A, B, C, D sont alignés et se suivent dans cet ordre. Tracer, d’un côté de la droite, les triangles équilatéraux ABE et CDF. Soit G le point d’intersection des cercles ACE et BDF , situé de ce même côté de la droite ABCD. Montrer que $AGD\sphericalangle =120^\circ$ .

(4 points)

B. 3996. Nous avons une feuille de papier rectangulaire. Nous souhaitons en obtenir des polygones à 20 côtés par le procédé suivant. A chaque étape, nous choisissons un morceau de papier (ceci ne peut être au départ que la feuille entière), que nous couperons en deux suivant une ligne droite. En utilisant cette procédure, quel est le nombre minimum de coupes nécessaires pour obtenir au moins cent polygones à 20 côtés?

Exercice de concours allemand

(5 points)

B. 3997. Démontrer que si le produit des nombres réels x, y, z est égal à 1, alors

x⁴+y⁴+z⁴+x²y²+y²z²+z²x² $\ge$ 2(x+y+z).

(4 points)

B. 3998. Soit P un sommet d’un parallélépipède rectangle ayant des longueurs de côtés a, b et c. Considérer un plan passant par les sommets voisins de P. Soit m la distance de ce plan par rapport à P. Démontrer alors que

$\frac{1}{m^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}.$

(4 points)

B. 3999. Dessiner un dodécaèdre régulier dans une sphère de rayon unitaire. Tracer les vecteurs partant du centre de la sphère et allant aux sommets du dodécaèdre. Donner la somme de ces vecteurs.

(4 points)

B. 4000. Déterminer la valeur minimum possible de x²+y² sachant que x et y sont des nombres réels, x $\ne$ 0 et

xy(x²-y²)=x²+y².

Exercice de concours anglais

(5 points)

B. 4001. Trois copines, Xénia, Yvette et Zita entrent un jour dans un cybercafé ouvert de 12 h à 20 h, indépendamment l’une de l’autre, chacune à une heure choisie au hasard, pour une durée d’une heure chacune. Quelle est la probabilité que les trois se croisent?

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 17 juin 2007.

énoncés maths concours 2007 05

C. 895. La série d’images présentée par la figure a été dessinée en utilisant de plus en plus de triangles équilatéraux noirs. Créer les n premières images selon la règle présentée. Combien de triangles équilatéraux noirs ont été utilisés pour cela?

(5 points)

C. 896. Les sommets du triangle ABC sont donnés dans un système par leurs coordonnées: A(0;4), B(3;0), C(c;6). L’aire du triangle est 7. Donner la valeur de c, sachant que 0<c<3.

(5 points)

C. 897. L’angle aigu d’un losange de côté unitaire mesure 60^o. Combien existe-t-il d’arcs de cercle dont les sommets du losange sont équidistants? Donner les mesures des rayons des cercles?

(5 points)

C. 898. La longueur des côtés du triangle équilatéral ABC est 6 cm. En partant du sommet C du triangle, un insecte se déplace vers le sommet A à une vitesse constante de 4 mm/s. Au même moment, un autre insecte part du sommet B en direction du sommet C, à une vitesse constante de 3 mm/s. Combien de temps après leur départ seront-ils le plus près l’un de l’autre et quelle est cette distance minimum?

(5 points)

C. 899. Pour quelle valeur du paramètre réel v le système d’équation

x+y+z=v, x+vy+z=v, x+y+v²z=v²