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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

avril 2007.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 10 mai 2007.

A. 422. Soient $x_1,x_2,\ldots,x_n,x_{n+1}$ des nombres réels strictement positifs tels que $x_1+x_2+ \ldots+x_n=x_{n+1}$ . Démontrer que

$\sum_{i=1}^n \sqrt{x_i(x_{n+1}-x_i)} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n x_{n+1}(x_{n+1}-x_i)}.$

Exercice de concours roumain

(5 points)

A. 423. Déterminer tous les entiers n strictement positifs pour lesquels on peut colorier les nombres $1,2,3,\ldots,2n$ en utilisant n couleurs de telle façon que chacune des couleurs intervienne exactement deux fois et que chacun des nombres $1,2,\ldots,n$ puisse être obtenu d’une manière – exactement - comme la différence de deux nombres de même couleur.

Exercice de concours allemand

(5 points)

A. 424. Soit P un point intérieur du quadrilatère convexe ABCD tel que AP=CP, $ABC\sphericalangle =APD\sphericalangle$ et $CDA\sphericalangle=CPB\sphericalangle$ . Montrer que

DA^.AB^.BP=BC^.CD^.DP.

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 10 mai 2007.

B. 3982. 100 jeunes mathématiciens diplômés sortant de l’école, cherchent du travail et contactent deux agences de recrutement. Dans l’offre de chacune des deux agences il y a les mêmes 100 postes. Chaque agence fait une proposition à chacun des candidats, à chacun une proposition différente. Chaque candidat choisit entre les deux propositions. Ainsi, chaque poste sera pourvu.

Mais après la période d’essai de trois mois, chacun pense à changer et choisit le poste proposé par l’autre agence (si c’est le même que le poste occupé actuellement, alors il reste). Montrer que chaque poste sera pourvu à nouveau.

(3 points)

B. 3983. Quelques personnes font une bataille de paintball. Dans une situation donnée, les distances entre les différents joueurs sont toutes différentes. Chacun tire alors en visant la personne se trouvant le plus près de lui. Les trajectoires des balles de deux joueurs ne se tirant pas l'un sur l'autre, peuvent-elles se croiser?

(3 points)

B. 3984. Combien de parts obtient-on au moins en découpant un carré en triangles à angles aigus?

(5 points)

B. 3985. Dans notre jardin, la pelouse contient n brins d’herbe. Nous voulons couper l’herbe de telle façon que tous les brins d’herbe aient la même longueur mais sans changer la longueur totale des brins d’herbe. Nous pouvons effectuer n-1 coupes au total et nous pouvons coller les bouts découpés entre eux ou avec les parties restantes. Pouvons-nous effectuer toujours la tonte de gazon suivant ces conditions?

(4 points)

B. 3986. Soit s(m) la somme des chiffres d’un nombre entier positif quelconque m. Déterminer tous les entiers positifs n n’ayant pas de chiffre 0 et pour lesquels on a:

s(n2)=2s(n)

(4 points)

B. 3987. Soit n $\ge$ 4 un nombre entier, soient $a_1, a_2, \ldots, a_n$ des nombres réels positifs ou nul. Démontrer que

${(a_1+a_2+a_3)}^2 {(a_2+a_3+a_4)}^2\cdot \ldots \cdot {(a_{n-1}+a_n+a_1)}^2{(a_n+a_1+a_2)}^2\ge$

$\ge 2^n{(a_1+a_2)}^2{(a_2+a_3)}^2\cdot \ldots \cdot {(a_{n-1}+a_n)}^2{(a_n+a_1)}^2.$

Examiner aussi les cas où l’égalité est vraie.

(5 points)

B. 3988. Soient F1, F2, F3, F4, F5, les milieux des côtés d’un pentagone convexe, dans cet ordre (soit A le sommet commun des côtés contenant les milieux F5 et F1). Soit P un point dans le plan tel que le quadrilatère PF2F3F4 est un parallélogramme. Démontrer alors que le quadrilatère PF5AF1 est aussi un parallélogramme.

(3 points)

B. 3989. Pour les nombres strictement positifs a, b, c on a:

a2+b2+c2+abc=4.

Montrer que a+b+c $\le$ 3.

(5 points)

B. 3990. Démontrer que, dans un triangle rectangle, les points d’intersection des bissectrices des angles aigus avec le cercle circonscrit ainsi que les points communs du cercle inscrit avec les côtés de l’angle droit sont alignés.

(4 points)

B. 3991. Le triangle isocèle ABC est rectangle en C. Soit P un point quelconque du côté BC, soit G la projection orthogonale de C sur AP. Soit H un point du segment AP tel que AH=CG. Sous quel angle voit-on le segment GH depuis le milieu du segment AB ?

(3 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 10 mai 2007.

C. 890. Donner tous les couples de nombres naturels dont le produit est égal au quintuple de leur différence.

(5 points)

C. 891. Combien de côtés un polygone convexe peut-il avoir au plus, sachant que ses angles internes sont les termes d’une suite arithmétique de raison r=1^o?

(5 points)

C. 892. Démontrer que si x, y, z sont des nombres réels strictement positifs et xyz=1, alors il est impossible que chacune des expressions

$\frac{1}{1+x+xy},\qquad \frac{y}{1+y+yz},\qquad \frac{xz}{1+z+xz}$

soit supérieur à $\frac{1}{3}$ .

(5 points)

C. 893. Parmi seize œufs de Pâques il y en a trois qui sont rouges. Nous avons placé au hasard dix œufs dans une grande boîte et six dans une boîte plus petite. Quelle est la probabilité qu’il y ai au moins un œuf rouge dans chacune des deux boîtes?

(5 points)

C. 894. Le volume d’une soupière en forme de demi-sphère est de 8 litres. Donner le volume de la soupe si la soupière est remplie à mi-hauteur?

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 10 mai 2007.

K. 121. Désigner un point quelconque sur chacun des côtés d’un rectangle. A quelle condition l’aire du quadrilatère déterminé par ces points sera-t-elle juste la moitié de celle du rectangle?

(6 points)

K. 122. Tracer un segment AB dans le plan et examiner, dans le cas des différentes droites du plan, combien il y a de points sur chacune de ces droites tels que le segment AB constitue avec ces points un triangle isocèle. Appeler ce nombre le nombre ,,isocèle'' de la droite. Donner tous les nombres ,,isocèle'' possibles.

(6 points)

K. 123. Trois lapins sont assis dans l’herbe, devant chacun un tas de carottes, 36 au total. Si, au même instant, le premier lapin donnait un tiers de ses carottes au deuxième, le deuxième un quart de ses carottes au troisième, le troisième un cinquième de ses carottes au premier, chacun aurait la même quantité de carottes. Combien de carottes chaque lapin avait-il au départ ?

(6 points)

K. 124. Au petit déjeuner, Toto, après avoir mangé deux des huit morceaux de fromage, a replacé les morceaux restants dans la boîte comme présenté par la figure. Sa maman n’était pas contente car, selon elle, Toto a ,,trituré'' les fromages. Selon Toto, il n’a rien fait de tel, les fromages passaient juste dans la boîte. Qui a raison?

(6 points)

K. 125. Stéphane et Vincent ont construit des tours avec des éléments de construction en bois. Tous les deux ont utilisé des parallélépipèdes rectangles à base carrée de même taille. Stéphane a posé les éléments les uns sur les autres par leurs faces de plus petites surfaces, tandis que Vincent les a superposé par leurs faces de plus grandes surfaces. La tour de quatre éléments de Stéphane a exactement la même hauteur que la construction de six éléments de Vincent. Quelle est la hauteur des tours, sachant que la somme de leurs bases est de 160 cm²?

(6 points)

K. 126. Dans le palais du sultan qui s’ennuie il y a mille chambres. Dans chaque chambre, il y a un interrupteur qui éteint ou rallume d’un coup toutes les lampes de la chambre en question. Un matin, quand les lampes étaient allumées dans toutes les chambres, le sultan qui s’ennuyait a commencé une petite promenade. Il a parcouru les 1000 chambres une à une, puis il a recommencé plusieurs fois, en commençant sa promenade chaque fois par la première chambre. La première fois, il a actionné l’interrupteur de chaque chambre (donc s’il était allumé, il l’a éteint, s’il était éteint, il l’a allumé), puis, en recommençant sa promenade, il changeait la position des interrupteurs dans toutes les deuxièmes chambres, puis, en recommençant de nouveau, dans toutes les troisièmes et ainsi de suite. Après son 500^ième tour, il en avait assez de ce jeux et est allé se coucher. Il voulait choisir une chambre où les lampes n’étaient pas allumées. Parmi quelles chambres pouvait-il choisir?

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être adressées à :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 10 mai 2007.