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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

mars 2007.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 10 avril 2007.

A. 419. Soit X le point d’intersection des diagonales du quadrilatère ABCD inscriptible dans un cercle. Soit Y le deuxième point d’intersection des cercles ABX et CDX . Soit Z un point tel que BZC et AYD soient des triangles semblables. Montrer que si BZCY est un quadrilatère convexe alors il possède un cercle inscrit.

Exercice de concours russe

(5 points)

A. 420. Déterminer toutes les fonctions telles que pour tout x,y>0 on ait : |f(x)-f(y)| $\le$ |x-y|, et telles qu’il existe des nombres strictement positifs a, b et c pour lesquels la relation $f(ax)+f\left(\frac{b}{x}\right) =f(cx)$ est vraie pour tout x>0.

(5 points)

A. 421. Donner un couple de nombres strictement positifs $\alpha$ et c tels que

$\bigg| \sum_{k=1}^N \bigg\{\frac{k^2}{N}\bigg\} - \frac{N}{2} \bigg| < cN^{1-\alpha}$

soit vrai pour tout N entier strictement positif.

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 10 avril 2007.

B. 3972. Démontrer qu’un nombre entier strictement positif n est divisible par 4 si et seulement si il existe n nombres entiers tels que leur somme soit 0 et leur produit soit n.

(3 points)

B. 3973. De combien de manières différentes peut-on placer 14 fous sur un échiquier de telle façon qu’aucun n’attaque un autre?

(3 points)

B. 3974. Soient A, B, C les sommets d’un triangle. Donner le lieu géométrique des points P pour lesquels

AP ²+BP ²=CP ².

(4 points)

B. 3975. Soient N et k des entiers strictement positifs; compter le nombre de manières différentes d’écrire le nombre N sous la forme a+b+c, où 1 $\le$ a,b,c $\le$ k (l’ordre des membres de l’addition compte aussi). Est-il possible d’obtenir 2007 comme résultat?

(5 points)

B. 3976. Soient a, b, c les trois côtés d’un triangle. Tracer des droites parallèles à ces côtés, passant par un point intérieur du triangle. Dans le cas où les segments de ces droites situés à l’intérieur du triangles sont de même longueur, donner cette longueur.

(4 points)

B. 3977. Soient x, y, z des nombres réels strictement positifs pour lesquels:

x²+xy+y²=2,

y²+yz+z²=5,

z²+xz+x²=3.

Déterminer la valeur de xy+yz+xz.

(4 points)

B. 3978. Démontrer que dans un triangle quelconque, l’inégalité suivante est vraie:

2R(s_a+s_b+s_c) $\ge$ a²+b²+c².

(où a, b, c sont les longueurs des côtés, s_a, s_b, s_c celles des médianes, R le rayon du cercle circonscrit.)

(5 points)

B. 3979. Soit ABC un triangle à sens de parcours positif. Soient $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ , dans l’ordre, les angles situés aux sommets A, B et C. Appliquer, au sommet B, une rotation de sens négatif d’angle $\alpha$ de centre A, ensuite, appliquer, au point B₁ ainsi obtenu, une rotation de sens négatif d’angle $\beta$ de centre B, et enfin, en appliquant, au point B₂ ainsi obtenu, une rotation de sens négatif d’angle $\gamma$ de centre C, on obtient le point B₃.

Construire le triangle, étant donnés les points B, B₃ et le centre O du cercle inscrit du triangle ABC. Examiner aussi, comment varie la solution en fonction de la position des trois points donnés.

(4 points)

B. 3980. La figure présente une vue de dessus d’un polyèdre dont les faces de ,,base'' sont des rectangles parallèles, ses arêtes latérales sont de même longueur, sa hauteur est m. Quelqu’un a trouvé la formule suivante pour calculer le volume du polyèdre:

$V= \frac{m}{6} \big[(2a+c)b+ (2c+a)d\big].$

Est-il vrai que cette formule donne le volume de ce corps?

(3 points)

B. 3981. Supposons que les nombres réels a_i, b_i ( $i=1, 2, \ldots, n$ ) vérifient les inégalités suivantes:

$0\le a_n\le a_{n-1}\le \ldots\le a_2\le a_1,$

et que $a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_k\le b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_k$ , si 1 $\le$ k $\le$ n. Démontrer que

$a_1+\ldots+a_n\le b_1+\ldots+b_n.$

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 10 avril 2007.

C. 885. A un distributeur automatique, les frais que la banque prélève au moment où l’on retire de l’argent sont composés de deux parties. Il y a des frais de base, indépendants de la somme retirée. A ceux-ci se rajoutent les frais proportionnels à la somme retirée. Donner le montant des frais quand on retire une somme de 850 €, sachant que les frais se montent à 2,21 € pour une somme de 400 € et à 4,85 € pour une somme de 1000 €.

(5 points)

C. 886. Pour décorer le mur d’un immeuble, on a peint dessus un carré de grande taille. Ensuite, on a tracé le cercle circonscrit du carré et les demi-cercles à l’extérieur du carré, qui ont les côtés du carré pour diamètres. Ces arcs de cercles délimitent quatre champs en forme de Lune. Donner la mesure d’un côté du carré sachant que l’aire de chacun de ces champs est de 1 m².

(5 points)

C. 887. Combien y a-t-il de nombres à huit chiffres dans lesquels chaque chiffre intervient exactement le nombre de fois correspondant à la valeur du chiffre? (Exemple: 33 414 434)

(5 points)

C. 888. Le volume et la surface d’un cube de côté 6 unités font chacun 216. Donner tous les parallélépipèdes à base carrée ayant cette propriété, c’est à dire ceux dont les longueurs de côtés sont des nombres entiers et la mesure de leur volume et de leur surface est la même.

(5 points)

C. 889. La figure présente une vue de dessus d’une pyramide tronquée dont les bases sont des rectangles, sa hauteur est m. Quelqu’un a trouvé la formule suivante pour calculer le volume de cette pyramide tronquée:

$V= \frac{m}{6} \big[(2a+c)b+ (2c+a)d\big].$

Est-il vrai que cette formule donne le volume de ce corps?

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 10 avril 2007.

K. 115. Sur un PC, quand on sélectionne plusieurs fichiers à copier et on démarre la copie, l’état d’avancement s’affiche dans deux barres différentes. La barre supérieure indique en pourcentage l’état d’avancement de la copie du fichier courant, la barre inférieure affiche l’état d’avancement en pourcentage par rapport à la taille totale des fichiers à copier (y compris les fichiers déjà copiés). En copiant trois fichiers de cette façon, on peut lire les données suivantes: à la copie du premier fichier, quand on voit 35% dans la barre supérieure, la barre inférieure affiche 14%; à la copie du deuxième fichier, quand on voit 24% dans la barre supérieure, la barre inférieure affiche 46%. Que peut-on lire dans la barre supérieure, quand la barre inférieure affiche 72%? (Les valeurs données en pourcentage ne sont pas arrondies mais des valeurs exactes.)

(6 points)

K. 116. En utilisant un jeu de cartes, créer des carrés magiques de 3×3 (placer une carte dans chaque champs du carré magique). La valeur d’une carte numérotée vaut le nombre qui est marqué dessus; le valet vaut 11, la dame 12, le roi 13, enfin l’As vaut 1. Dans ces carrés magiques, la somme des trois nombres est la même dans les lignes, dans les colonnes et dans les diagonales – cette somme est appelée le ,,nombre magique''.

a) Donner la valeur maximale du nombre magique, sachant qu’on ne peut utiliser que des trèfles.

b) Le nombre magique peut-il être 37 si l’on peut utiliser 9 cartes quelconques?

(6 points)

K. 117. Plier une feuille selon la figure en trois parts égales suivant les pointillés (chacun des deux pliages peut se faire dans un ,,sens'' quelconque). Les lignes de pliures divisent les deux faces de la feuille en six parts au total. Après avoir déplié la feuille, peindre chacune des parts en une couleur différente; plier ensuite la feuille de nouveau suivant les pointillés. Ainsi, on ne peut voir que deux couleurs, sur les deux faces de couverture. Combien de paires de couleurs peut-on créer avec des pliages différents?

(6 points)

K. 118. Donner tous les nombres à cinq chiffres $\overline{abcde}$ contenant exactement a chiffres de 0, b chiffres de 1, c chiffres de 2, d chiffres de 3 et e chiffres de 4. (Les lettres différentes ne représentent pas forcément des chiffres différents.)

(6 points)

K. 119. Deux tribus vivent en Binumérie. Chaque tribu utilise un système de numération dans une base différente. Nous avons demandé à une personne de chaque tribu, combien de personnes vivent dans sa tribu. Chacune a répondu 10011. Combien de personnes vivent en Binumérie, sachant que dans chacune des deux tribus il y a plus de 100 mais moins de 1000 personnes?

(6 points)

K. 120. a) Donner un polyèdre ayant 12 sommets et 18 arêtes.

b) Existe-t-il un polyèdre ayant 12 sommets et 16 arêtes?

(6 points)

Les solutions des exercices de Mathématiques doivent être envoyées à l'adresse suivante :

Association "Jeunes Talents Scientifiques"

42 rue d'Illzach

68100 Mulhouse

ou par mail : mathspci@free.fr ( lire les questions/réponses )

Date limite d'envoi : 10 avril 2007.