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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

novembre 2006.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 30 novembre 2006.

A. 407. Dans la pyramide ABCDE, les angles entre le plan ACE et les faces ABCD, ABE, BCE, CDE et DAE sont de 45^o. Démontrer que AB²+AD²=BC²+CD².

(5 points)

A. 408. Les nombres réels strictement positifs a₁,a₂,... ,a_n et b₁ $\le$ b₂ $\le$ ^... $\le$ b_n satisfont a₁+a₂+^...+a_k $\le$ b₁+b₂+^...+b_k pour tout 1 $\le$ k $\le$ n. Démontrer que

$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n} \ge \frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\cdots+\frac1{b_n}.$

(5 points)

A. 409. Pour un entier strictement positif m, soit s(m) la somme des chiffres de m. Pour n $\ge$ 2, soit f(n) la valeur minimale de k pour laquelle il existe un ensemble S de n nombres entiers strictement positifs tels que $s\left(\sum\limits_{x\in X}x\right)=k$ pour tout X $\subset$ S sous-ensemble non vide. Montrer alors qu’il existe des constantes 0<C₁<C₂ telles que C₁log₁₀n $\le$ f(n) $\le$ C₂log₁₀n.

Olympiades de Mathématiques U.S.A., 2005

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 30 novembre 2006.

B. 3932. Résoudre l’équation x²+ y²= z -16 dans l’ensemble des nombres premiers strictement positifs.

(3 points)

B. 3933. Une suite a_n est définie par a₁= 1, a_2n= a_n, a_2n+1+ a_n= 1. Déterminer la valeur de a₂₀₀₆.

(3 points)

B. 3934. Un rectangle et deux carrés sont inscrits à l’intérieur d’un triangle rectangle présenté par la figure. Montrer que la hauteur du rectangle est égale à la somme des hauteurs des carrés.

(3 points)

B. 3935. Pour les représentations de Hamlet, certains personnages sont en binômes, par exemple, chaque membre d’un binôme sait jouer le rôle de Gertrude et le rôle de Player Queen. Avant chaque spectacle, on décide par tirage au sort qui jouera Gertrude et qui jouera Player Queen. De même, il y a des tirages au sort pour d’autres binômes. Sarah a déjà vu Hamlet, mais elle veut le voir de nouveau avec un acteur différent jouant l’autre membre des binômes Gertrude/Player Queen, Claudius/Player King et Ophelia/Fortinbras, toutefois pas nécessairement dans la même représentation. Combien de tickets doit-elle encore acheter pour voir, avec une probabilité de 90%, les trois rôles joués par un autre acteur ?

(4 points)

B. 3936. Déterminer les conditions sur les nombres réels a, b et c tels que pour tout n entier strictement positif il existe un triangle avec des longueurs de côtés aⁿ, bⁿ et cⁿ.

(4 points)

B. 3937. Un triangle est fabriqué en soudant trois tiges de métal minces longues de 8, 15 et 17 cm. Une boule rigide de rayon 5 cm est placée sur ce cadre triangulaire tenu horizontalement. Dans quel rapport le plan du triangle divise-t-il le volume de la boule ?

(4 points)

B. 3938. La somme des entiers $a_1,a_2,\ldots, a_{10}$ , tous supérieurs à 1, est 2006. Donner la valeur minimum de $\binom{a_1}{2}+\cdots+ \binom{a_{10}}{2}$ .

(4 points)

B. 3939. Sous quel angle voit-on l’hypoténuse d'un triangle rectangle ayant un périmètre de 2 unités, à partir d’un point de la bissectrice intérieure de l'angle droit situé à une distance de $\sqrt{2}$ du sommet ?

(4 points)

B. 3940. Soient a, o et c trois droites dans le plan. Considérer tous les carrés ABCD tels que le sommet A se trouve sur la droite a, le sommet opposé C sur la droite c, et le centre O du carré sur la droite o. Déterminer l’emplacement des sommets B et D.

(5 points)

B. 3941. Trouver tous les triplets de nombres rationnels strictement positifs (p;q;r) tels que p+q+r, $\frac{1}{p} +\frac{1}{q} +\frac{1}{r}$ et pqr soient tous des entiers.

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 30 novembre 2006.

C. 865. Quel nombre a la forme 503 en base n et 305 en base (n+2) ?

(5 points)

C. 866. Trouver la valeur du paramètre a telle que la distance entre les deux racines de l’équation x²-4ax+5a²-6a=0 soit la plus grande possible.

(5 points)

C. 867. En partant de l’origine d’un système Cartésien habituel, une ligne brisée est tracée. Nous sommes de retour sur l’axe des y tous les quatrièmes pas, voir la figure.

En utilisant un stylos à bille et un système orthogonal avec comme unité 0.5 cm, nous traçons une ligne brisée de 8000 mètres comme indiquée par la figure. Compter combien de fois nous sommes de retour à l’axe des y.

(5 points)

C. 868. Considérer quatre points distincts dans le plan. En prenant les points deux par deux, les distances sont de 1 pour 4 binômes et la distance entre une certaine paire de points est 1.2. Que peut-on dire de la distance des 2 points restants ?

(5 points)

C. 869. Un cylindre de hauteur $\frac{4}{3} R$ est inscrit dans une sphère de rayon R. Déterminer le rapport de leurs volumes.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 30 novembre 2006.

K. 91. 2163 est un nombre à quatre chiffres dans lequel le chiffre des unités est le triple du chiffre des centaines et le chiffre des dizaines est le double de la somme du chiffre des centaines et de celui des milliers. Est-il vrai que de tels nombres à quatre chiffres sont toujours divisibles par 3 ?

(6 points)

K. 92. Les pilotes utilisent le cadran d'une horloge pour exprimer des directions. La direction actuelle de vol est identifiée par 12 heures. Ainsi, par exemple, au lieu de ''90 degrés à droite'' ils disent ''3 heures'', ou ''derrière moi'' correspond à ''6 heures''. Suivez l’itinéraire d'un avion de reconnaissance se déplaçant toujours à vitesse constante qui décolle de la base et vole 3 minutes dans une direction donnée, puis tourne vers 2 heures et vole 4 minutes, tourne alors encore vers 2 heures et vole 3 minutes, finalement l'avion tourne vers 4 heures et vole 9 minutes. Dans quelle direction d’horloge l'avion devrait-il tourner pour rejoindre la base ? Combien de minutes cela prendra-t-il ?

(6 points)

K. 93. Sherlock Holmes cherchait des indices pour éclaircir un crime dans la propriété des Musgraves célèbre pour un bel orme. Recherchant le trésor caché, il devait ''marcher dix et dix pas vers le nord, cinq et cinq pas vers l'est, deux et deux pas vers le sud et un et un pas vers l’ouest''. Holmes avait découvert, cependant, qu’une des directions était fausse, et l’on devait marcher dans la direction opposée (par exemple, sud au lieu de nord). Puisqu'il ne savait pas laquelle des directions était fausse, il a essayé toutes les possibilités. Chaque promenade se terminait dans le parc des Musgraves. Trouver l’aire minimum possible du parc sachant que les pas de Holmes sont de 80 centimètres de long et le parc est un rectangle avec des côtés orientés en direction nord-sud et est-ouest.

(6 points)

K. 94. Quand le nombre à cinq chiffres $\overline{ABCDE}$ est multiplié par 4, on obtient le nombre à cinq chiffres $\overline{EDCBA}$ . Trouvez la valeur de $\overline{ABCDE}$ . (A, B, C, D, E représentent des chiffres différents.)

(6 points)

K. 95. Un nombre à un chiffre est écrit dans chaque case d'un échiquier de 3×3. Une figure se déplace par des pas en L (à la manière d’un cavalier). Un tel L se compose de quatre cases. De combien de manières différentes est-il possible de remplir le tableau de 3×3 avec des nombres à un chiffre (pas nécessairement différents) de sorte que la somme des quatre nombres pour tous les pas en L soit identique ?

(6 points)

K. 96. Les côtés d'un triangle équilatéral ABC sont de 16 centimètres de long. Le côté AC est prolongé au delà de A par un quart de AC et on obtient ainsi le point P : AP = ¼ AC. Le point P est relié au point Q placé au tiers de AB, vers A. La droite PQ divise le côté BC en deux parties. Trouvez la longueur de ces deux parties.