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Maths - Physique - Informatique / Collège, Lycée et +

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KöMaL - C'est quoi ?

Rédaction

Exercices de mathématiques

octobre 2006.

prière de lire le règlement du concours

Exercices A

Date limite d'envoi : 31 octobre 2006.

A. 404. Soient les sommets d’un polygone régulier à 2n côtés $V_1,V_2,\ldots,V_{2n}$ . Appelons une diagonale V_iV_j « diagonale paire » si i et j sont de même parité.

Découper le polygone en triangles d’une manière quelconque en traçant 2n-3 diagonales non sécantes entre elles. Sur ce découpage, nous pouvons exécuter l’opération suivante : choisir deux sommets, V_i et V_j, lesquels sont soit voisins soit reliés par une diagonale tracée. Remplacer ensuite, d'un côté de la droite V_iV_j toutes les diagonales intervenant dans le découpage par leurs images par rapport à la médiatrice de V_iV_j, selon la figure.

Démontrer qu’en partant d’un découpage quelconque, en exécutant de telles opérations, nous pouvons arriver à un découpage dans lequel chaque diagonale paire relie des sommets de numéros d’ordre paires.

(d’après le 2^ème problème des 47^ème Olympiades Internationales de Mathématiques)

(5 points)

A. 405. Pour les nombres réels a, b, c, x, y, z, nous avons a $\ge$ b $\ge$ c>0 et x $\ge$ y $\ge$ z>0. Démontrer que

$\frac{a^2x^2}{(by+cz)(bz+cy)} + \frac{b^2y^2}{(cz+ax)(cx+az)} + \frac{c^2z^2}{(ax+by)(ay+bx)} \ge \frac34.$

(problème d’un concours Coréen)

(5 points)

A. 406. On assigne à chaque côté b d’un polygone P convexe l’aire du triangle d’aire maximale dont un côté est b et qui est à l’intérieur de P. Démontrer que la somme des aires assignées aux côtés de P est au maximum le triple de l’aire de P.

(d’après le 6^ème problème des 47^ème Olympiades Internationales de Mathématiques)

(5 points)

Les exercices B

Date limite d'envoi : 31 octobre 2006.

B. 3922. J’ai pensé à un nombre à six chiffres. J’ai déplacé son premier chiffre à la fin du nombre. J’ai obtenu ainsi le triple du nombre d’origine. A quel nombre ai-je pensé ?

(3 points)

B. 3923. Tracer une diagonale dans un certain nombre des 64 cases d’un échiquier de telle façon que deux quelconques de ces diagonales traçées ne possèdent aucun point commun. Quel est le nombre maximal de diagonales qu’il est possible de tracer de cette façon ?

(4 points)

B. 3924. Nous avons collé 27 dés réguliers pour construire un cube de 3×3×3 de telle façon que deux faces collées ensemble contiennent toujours le même nombre de points. Combien de points y a-t-il sur la surface du grand cube ?

(3 points)

B. 3925. Soit F le milieu de l’arc ABC. Soit T la projection orthogonale de F sur la ligne brisée ABC. Démontrer que T coupe la ligne brisée ABC en deux parties de même longueur.

(4 points)

B. 3926. Anne et Thomas jouent au jeu suivant : Ils ont 10 tas de cailloux devant eux. Le premier tas contient 1 caillou, le deuxième 2, le troisième 3, et ainsi de suite, le dixième tas contient 10 cailloux. Ils jouent à tour de rôle et effectuent à chaque tour l'une des deux actions suivantes : soit ils divisent un tas en deux plus petits, soit ils enlèvent un seul caillou à un tas. La personne qui ne peux plus jouer selon les règles a perdu. Déterminer qui a une stratégie gagnante sachant que c’est Anne qui joue en premier.

(5 points)

B. 3927. Soit A' le symétrique du sommet A du tétraèdre ABCD par rapport à B, B' le symétrique de B par rapport à C, C' le symétrique de C par rapport à D et D' le symétrique de D par rapport à A. Quel est le rapport entre le volume du tétraèdre A'B'C'D' et celui du tétraèdre ABCD ?

(4 points)

B. 3928. Soit P un point intérieur d’un cercle de rayon r. Les côtés d’un angle droit de sommet P coupent le cercle en A et B. Compléter le triangle BPA en un rectangle PAQB. Déterminer la trajectoire du point Q quand l’angle droit tourne autour de P.

(4 points)

B. 3929. Démontrer que l’équation

{x³}+{y³}={z³}

a un nombre infini de solutions telles que x, y et z soient des nombres rationnels non entiers. ({r} désigne la partie fractionnaire de r.)

(5 points)

B. 3930. Démontrer que si le nombre de sommets d’un polygone convexe est divisible par 3, alors il peut être découpé en triangles par des diagonales non sécantes de telle façon que chacun des sommets du polygone appartienne à un nombre impair de triangles.

(4 points)

B. 3931. Donner un polynôme p à coefficients rationnels tel que $p\big(\sqrt{2} + \sqrt{3}\,\big)=\sqrt{2}$ .

(5 points)

Les exercices C

Date limite d'envoi : 31 octobre 2006.

C. 860. Au cours d’un sondage effectué auprès de 500 personnes, les résultats ont montré que 46 % des personnes interrogées aimaient la glace à la fraise, 71 % la glace à la vanille, 85 % la glace au chocolat. Y a-t-il, parmi les personnes interrogées, six personnes aimant les trois sortes de glace ?

(5 points)

C. 861. A l’occasion d’une éclipse partielle de Soleil, le diamètre de la Lune et celui du Soleil semblaient être de même longueur. A l’instant du maximum de l’éclipse, le bord du disque de la Lune touchait le centre du disque du Soleil. De combien de pour cent était l’éclipse de Soleil ?

(5 points)

C. 862. Donner les couples de nombres x,y qui satisfont l’inégalité suivante : 2|x+y| $\le$ |x|+|y|.

(5 points)

C. 863. Donner les nombres entiers x,y qui satisfont l’égalité suivante : x⁶-y²=648.

(5 points)

C. 864. Les côtés d’un triangle dessiné sur une ,,feuille à carreaux'' mesurent : $2\sqrt{10}$ , $3\sqrt5$ et 5 unités

Démontrer que son plus petit angle est de 45^o.

(5 points)

Les exercices K

Date limite d'envoi : 31 octobre 2006.

K. 85. Guillaume et Jérôme s’agitent en jouant. D’abord, c’est Guillaume qui monte sur une chaise et est ainsi de 30 cm plus grand que Jérôme qui est debout sur le parquet. Quand ils changent de place et cette fois-ci c’est Jérôme qui monte sur la chaise, il est plus grand de 50 cm que Guillaume qui est debout sur le parquet. Donner la hauteur de la chaise.

(6 points)

K. 86. Un grand cube a été construit à partir de petits cubes ayant des arêtes unitaires. Parmi ces derniers, il y en a exactement 80 qui se trouvent sur les arêtes ou dans les sommets du grand cube. Combien de cubes ont été utilisés pour construire le grand cube?

(6 points)

K. 87. L’arbre isocèle de Pythagore grandit de la manière suivante : la première année son tronc en forme de carré pousse. La deuxième année, sur celui-ci pousse un triangle rectangle isocèle de telle façon que son hypothénuse soit l’arête supérieur du carré, ensuite, à partir des deux autres côtés du triangle les deux premières branches qui sont aussi des carrés poussent. Ceci se répète chaque année, c’est à dire sur l’arête supérieure de chaque carré pousse un triangle rectangle isocèle et les deux côtés de ceux-ci font pousser des branches carrées. En supposant que le côté du tronc(c’est à dire du premier carré) soit de 8 mètres, donner la hauteur et la largeur de l’arbre à la fin de la quatrième année. (Aide : dessiner l’arbre sur une feuille à carreaux, en gardant les proportions.)

(6 points)

K. 88. Dans un lycée, il y a quatre classes de seconde. Les quatre classes ont participé à une classe verte de quatre jours. Chaque classe a fait une journée de randonnée pédestre. Pendant ce temps, les autres sont restés au camp et ont participé à différentes activités. Lundi, la classe A a fait sa sortie randonnée, ce jour-là 81 élèves sont restés au camp. Mardi, c’était le tour de la classe B et 79 élèves sont restés au camp. Mercredi, la classe C étant de sortie, 75 élèves étaient au camp. Jeudi, la classe D a fait sa randonnée et 80 élèves sont restés au camp ce jour-là. Donner le nombre d’élèves par classe.

(6 points)

K. 89. Donner le rayon des trois cercles isométriques présentés par la figure, sachant que le côté du triangle équilatéral mesure 12 cm.

(6 points)

K. 90. Dans les 9 zones déterminées par les cinq anneaux olympiques, nous pouvons écrire les neuf premiers nombres entiers positifs de telle façon que la somme des nombres soit 14 dans chaque anneau comme indiqué par la figure. Trouver comment placer ces mêmes neuf nombres dans les neuf zones de telle façon que la somme des nombres soit 13 dans chaque anneau. Trouver le plus de solutions possibles.