I. 187. Au moment de la chute de neige, les flocons de neige se superposent. Cette masse de neige, après avoir atteint une certaine hauteur, peut glisser et déclencher une avalanche dangereuse. On peut observer ce phénomène de glissement dans le cas de toutes les matières solides, poudreuses, constituées de petites particules. Ecrire un programme de simulation qui examinera ce phénomène.

Pour simplifier, soit le sol dans le plan horizontal, découpé en N×M  cellules (3N,M100). A chaque pas de la simulation, 1 flocon tombera sur une cellule choisie aléatoirement. En réalité, les flocons tombent parallèlement dans le temps, mais en exécutant beaucoup d’étapes de simulation, il est possible d’approcher la réalité.

L’épaisseur de la couche de neige augmente progressivement et on la calcule dans chaque cellule. Tant que la neige n’atteint pas la hauteur critique HM (4HM12), il n’y aura pas de changement. Si le nombre de flocons atteint dans une cellule atteint la valeur critique, alors cette cellule transmet un flocon à chacune de ces 4 voisines. (La valeur de la cellule diminue de 4 et celle de ses quatre voisines de côtés augmente de 1.) Suite à cet événement, la hauteur de la couche de neige augmente dans les cellules voisines et au-dessus de la hauteur critique, comme précédemment, elles transmettent aussi les flocons de neige à leurs quatre voisines. Si la hauteur dans la cellule voisine n’atteint pas la valeur critique, alors il n’y a pas de transmission et on ne doit pas vérifier ses voisines non plus. La neige glissant du bord de la zone examinée disparaît. Si la transmission touche plusieurs cellules consécutives, on peut parler de glissement et si ce secteur est grand, de l’avalanche.

Le programme doit effectuer la présentation graphique du changement après la chute de chaque flocon de neige. Pour une meilleur visibilité, représenter les cellules par des zones de 3×3 ou 5×5 pixels. Colorier d’une même couleur les cellules n’ayant pas subi de changement (cela peut être aussi la couleur de fond) et d’une autre couleur les cellules dont le contenu a changé.

L’utilisateur doit avoir la possibilité de choisir entre le mode pas à pas et le mode continu. Le programme doit se terminer par l’appui d’une touche.

 Envoyer le code source du programme (i187.pas, i187.cpp, ...), ainsi que sa documentation brève (i187.txt, i187.pdf, ...) qui contient la description de la solution et le nom de l’environnement où le code source peut être compilé.

(10 points)

I. 188. Aristid Lindenmayer (1925-1989), le biologiste mathématicien hollandais d’origine hongroise étudiait la croissance des plantes en utilisant des algorithmes. Il s’occupait de fractales à lignes descriptibles par des formules textuelles(grammaire générative). Son système est appelé d’après l’initiale de son nom L-System  qu’on peut considérer comme le précurseur du graphique de tortue. Ses symboles comportent les informations concernant la direction du mouvement de l’instrument de traçage et la longueur de ses pas.

Pour dessiner une fractale, on a besoin d’un axiome, d’une règle et d’un angle de rotation. La finesse des graphiques est donnée par le nombre de remplacements récursifs.

La plus connue des fractales à lignes est la courbe de Koch.

Axiome: F
Règle: F=F+F-F+F
Angle: 60
Remplacements: 3
Que se passe-t-il si l’axiome est étendu?
La règle donne la formule de remplacement récursif.
Axiome: F-F-F
Règle: F=F+F-F+F
Angle: 60
Remplacements: 3

Dessiner les cinq fractales L-System présentées par la figure, en utilisant logiciel graphique vectoriel Inkscape(téléchargeable gratuitement sur Internet). La figure 6. doit être une création personnelle.

Accès à la fonction générant les graphiques L-System: Effets / Rendu / système de Lindenmayer.

Les éléments axiomes et règles dans L-système d’Inkscape:

Exemple d’utilisation du presse-papier pour le dessin d’un arbre:

Les figures créées peuvent être facilement coloriées avec le logiciel de graphique vectoriel.

Envoyer la liste des paramètres décrivant les figures(axiome, règle, angle et nombre de remplacements) dans une documentation brève (i188.txt, i188.doc, ), ainsi que la figure 6. créée librement et sa liste de paramètres(i188.svg, i188.png, ...).

Les figures à créer:

(10 points)

I. 189. Selon la conjecture de Goldbach, chaque nombre paire supérieure à deux peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers. Examiner, de combien de manières différentes peut-on écrire les nombres paires inférieurs ou égaux à 100 comme la somme de deux nombres premiers. Pour résoudre le problème, utiliser un tableur: sur la feuille de calcul nommé ,,Goldbach'' d’un classeur, calculer le nombre possible de manières différentes d’écrire les nombres paires ci-dessus, puis, représenter le résultat sur un histogramme. Ne pas utiliser de macros ou de modules de programme, seulement des formules et des fonctions intégrées.

Envoyer le classeur (189.xls, 189.ods, ...) ainsi qu’une documentation brève (189.txt, 189.pdf, ...) qui contient le nom du tableur utilisé, sa version et la description brève de la solution.

(10 points)

S. 36. Les villes d’un pays sont reliées par des chemins de fer selon ce qui suit:

-en dehors des gares, il n’y a qu’une voie partout, les trains ne peuvent éviter ou doubler un autre train que dans une gare;

-Les lignes de chemin de fer ne se rencontrent que dans les gares, elles ne peuvent pas se croiser ailleurs;

-le réseau de chemin de fer est unique, c’est à dire de n’importe quelle ville vers n’importe quelle autre ville mène un chemin soit directement soit en passant par d’autres villes;

-tous les trains roulent à la même vitesse sur tous les chemins.

Ecrire un programme qui crée les horaires de trains, en connaissant le réseau de chemin de fer du pays et la position actuelle des trains, c’est à dire qui propose pour chaque train l’heure de départ et la direction à prendre pour arriver à leurs destinations, de telle façon que l’heure d’arrivée du dernier train soit de valeur minimale.

Le réseau ferrovier du pays est donné dans un fichier texte dont chaque ligne comporte deux villes signalées par une lettre chacune et le temps nécessaire pour passer de l’une à l’autre, séparés par des caractères d’espacement. Il y a 25 villes au plus, désignées par des lettres en majuscule de l’alphabet anglais. Le temps du trajet entre deux villes quelconques est toujours inférieur à 100 minutes. La position des trains est donnée aussi dans un fichier de texte, la première lettre de chaque ligne du fichier désignant une station où les trains de cette ligne se trouvent, chacune des lettres suivantes de la ligne représentant un train dont la destination est signalée par la lettre du train. Les lettres de ces lignes sont aussi séparées par des caractères d’espacement.

Le programme doit donner pour chaque ville les heures de départ et les itinéraires des trains. Il doit écrire les horaires dans un fichier de texte dont chaque ligne doit contenir la minute du départ du train, les stations de départ et d’arrivée sans caractère de séparation, et après un espace les lettres des deux villes entre lesquelles le train roule, sans espacement. L’état initial est considéré comme le début de la mesure du temps. Le programme doit écrire dans un autre fichier de texte le temps d’arrivée des trains et, après un espace, les lettres de leurs villes de départ et d’arrivée, collées. Les fichiers en sortie doivent être triés sur le temps en ordre croissant. Les quatre paramètres de la ligne de commande donnent le nom du fichier du réseau, le nom du fichier des trains, celui du fichier des heures de départ et enfin le nom du fichier des arrivées, respectivement.

Envoyer le code source du programme (s36.pas, s36.cpp, ...), ainsi que sa documentation brève (s36.txt, s36.pdf, ...) qui contient la description de la solution et le nom de l’environnement où le code source peut être compilé.

(10 points)