Variations sur le thème des SET

Le jeu

Marsha Jean Falco généticien travaillait à Cambridge en 1974: il effectuait des recherches sur la transmission génétique de épilepsie parmi les chiens berger allemand. Pour faciliter la comparaison entre les combinaisons génétiques des animaux, il écrivait les données sur des cartes. Il a remarqué que certains blocs d’informations étaient identiques pour beaucoup d’animaux et pour simplifier, il dessinait des figures au lieu d’écrire un blocs d’informations. Ensuite, il cherchait des relations entre les cartes et la transmission génétique de la maladie, c’est à dire il cherchait certaines figures sur les cartes. Il étalait les cartes sur une table et il cherchait avec ses collaborateurs des cartes à figures identiques ou au contraires différentes.

L’idée est alors venue de créer un jeu de cartes avec ces figures. Avec sa famille et ses amis, le chercheur a élaboré le jeu de cartes SET. 17 ans après, en 1991, sur l’insistance de sa famille il a introduit ce jeu alors bien élaboré, testé et apprécié, sur le marché des jeux de société.

Le jeu a eu un grand succès, en grande partie à cause des règles faciles à comprendre, toutes les générations apprécient et le nombre de joueurs est pratiquement illimité. Il est surprenant que, même s’il s’agit plutôt d’un jeu mathématique, des enfants de 11-12 ans jouent souvent plus habilement que leur parents mathématiciens. La raison à cela est que pour gagner, on a moins besoin de son savoir-faire ou de la logique que d’une bonne capacité d’identification de figures.

Deux ou plusieurs joueurs peuvent participer au jeu, en utilisant des cartes spéciales: chaque carte contient 1, 2 ou 3 dessins en forme de losange, de vague ou ovale, de couleur rouge, verte ou lilas, avec remplissage complet, à rayures ou vide. (Exactement une de chaque combinaison possible.) En début de partie, on place 12 cartes sur la table avec leurs côtés couleur puis tous les joueurs se mettent à les examiner, en cherchant des SET. Un SET est constitué de trois cartes présentant les quatre propriétés identiques ou bien au contraire les quatre propriétés toutes différentes.

Exemples pour des SET:

Si quelqu'un a trouvé un SET, alors il l’enlève et les cartes seront remplacées par de nouvelles cartes. Si les joueurs sont d’accord pour dire qu’il n’y a pas de SET parmi les cartes se trouvant sur la table, alors on place trois nouvelles cartes sur la table.

La partie est terminée quand il n’y a plus de cartes ou quand il n’y a plus de cartes à part celles se trouvant sur la table et qu’il n’y a pas de SET parmi celles-ci. Le joueur ayant trouvé le plus de SET a gagné.

Par la suite, nous allons examiner quelques questions combinatoriques simples concernant ce jeu.

Une approche combinatorique

1. Combien y a-t-il de cartes dans le paquet? Il y a au total 4 propriétés (nombre, remplissage, couleur, forme), chacune peut être de 3 sortes différentes, on a ainsi 3⁴=81 cartes dans le paquet.

2. Combien y a-t-il de SET au total? Constater d’abord que si l’on choisit deux cartes, il existe exactement une carte qui forme un SET avec ces dernières, puisqu’on vérifie pour chacune des quatre propriétés si les deux cartes données sont identiques et si oui alors la troisième doit être pareille, si non alors la troisième doit être différente de chacune des deux premières. Comme il existe exactement une de chaque combinaison nombre-remplissage-couleur-forme, nous avons ainsi déterminé d’une manière unique la carte manquante. Donc deux cartes quelconques font partie d’un et un seul SET.

Par conséquent, nous devons d’abord compter de combien de manières différentes pouvons-nous choisir deux cartes parmi 81, ce qui est évidemment

Mais en ce faisant, nous avons compté chaque SET (a;b;c) trois fois, puisque nous l’avons compté une fois en choisissant a et b, une fois en choisissant a et c et une fois en choisissant b et c. Donc, le résultat ci-dessus doit être divisé par 3:

Il y a donc 1080 SET parmi les 81 cartes.

A suivre…